最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。
例如,"ace" 是 "abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1:
输入:text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "ace" ,它的长度为 3 。
示例 2:
输入:text1 = "abc", text2 = "abc"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "abc" ,它的长度为 3 。
示例 3:
输入:text1 = "abc", text2 = "def"
输出:0
解释:两个字符串没有公共子序列,返回 0 。
提示:
1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。
来源:力扣(LeetCode)
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解题思路1:动态规划
状态表示和状态转移见代码注释。虽然结果正确但是时间复杂度\(O(n^4)\).所以说选择好的状态表示以及状态转移方程也是十分重要的。
code
class Solution {
public:
//abcde
//ace
//动态规划
//状态表示:f[i][j] text1中以i结尾和text2中以j结尾的公共子序列的长度
//状态转移:遍历0到i-1以及0到j-1
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.size(),n = text2.size();
vector<vector<int>> f(m,vector<int>(n,0));
for(int i = 0;i < m;i ++) if(text1[i] == text2[0]) f[i][0] = 1;
for(int j = 0;j < n;j ++) if(text1[0] == text2[j]) f[0][j] = 1;
for(int i = 1;i < m;i++)
{
for(int j = 1;j < n;j ++)
{
if(text1[i] == text2[j])
{
f[i][j] = 1;
for(int g = i -1;g >= 0;g --)
{
for(int k = j -1;k >= 0;k --)
{
if(f[g][k] + 1 > f[i][j]) f[i][j] = f[g][k] + 1;
}
}
}
}
}
int ans = 0;
for(int i = 0;i < m;i ++)
{
for(int j = 0;j < n;j ++) ans = max(ans,f[i][j]);
}
return ans;
}
};
解题思路:动态规划2
这次状态表示不再是以i,j,结尾的最长公共子序列,而是前i,j个字符的公共子序列,具体见代码注释。时间复杂度\(O(n^2)\).
code
class Solution {
public:
//abcde
//ace
//动态规划
//状态表示:f[i][j] text1中以i结尾和text2中以j结尾的公共子序列的长度
//状态转移:遍历0到i-1以及0到j-1
//时间复杂度O(n^4)
//n ^ 3 or n ^ 2最好
//状态表示:f[i][j] text1中前i个字符和text2中前j个字符的最长公共子序列的长度
//状态转移:text1[i] == text2[j], f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1
//text1[i] != text2[j],f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1])
//比较难想明白的就是不相等时为什么这样子转移
//不相等时从可能最大的两个值中选择一个最大的
//并不能f[i][j] = f[i-1][j-1] + 0,因为不相同的可能和之前的构成更长的公共子序列
//为了避免处理麻烦的边界问题字符串长度从1开始
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.size(),n = text2.size();
vector<vector<int>> f(m + 1,vector<int>(n+1,0));
f[0][0] = 0;
for(int i = 1;i <= m;i ++)
{
for(int j = 1;j <= n;j ++)
{
if(text1[i-1] == text2[j-1]) f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;
else f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
}
}
int ans = 0;
for(int i = 0;i <= m;i ++)
for(int j = 0;j <= n;j ++)
ans = max(ans,f[i][j]);
return ans;
}
};