[模拟赛] 瘟疫（ill）

题目描述：

有 \(n\) 个连通块，第 \(i\) 个连通块有 \(a_{i}\) 个点。接下来进行 \(n\) 次操作，每次选择一个点将其所在的联通用块染黑，问第一个连通块被染黑的期望天数。

解题思路：

初步思路，枚举第一个连通块被染黑的天数，计算概率然后相加。但是发现概率极其难求。
所以更换思路，假定我们已知染色顺序，同时钦定假定第 \(i\) 个连通块的染色时间为 \(t_{i}\)，那么第一个连通块的时间可以表示为

\[1+\sum _{i=2}^{n} [t_{i} < t_{1}] \]

那么如果不知道染色顺序然后求期望呢？式子可以变形为：

\[E(1+\sum _{i=2}^{n} [t_{i} < t_{1}]) \]

根据期望的线性性可推出：

\[1+\sum _{i=2}^{n} E([t_{i} < t_{1}]) \]

那么对于 \(i\) 求 \(E([t_{i} < t_{1}])\) 即可，假如 \(t_{i} < t_{1}\) 的概率为 \(p_{i}\)，那么\([t_{i} < t_{1}]\) 的期望就是 \(1 \times p_{i}+0 \times (1-p_{i}) = p[i]\)。

那么求 \(p_{i}\) 即可，对于 \(p_{i}\)，来说有用的只有 \(1\) 和 \(i\) 的相对位置关系，其余点排在哪里都不会有问题，所以其余点的总方案数为 \((n-2)!\)，放在所有地方的概率都相等，所以只要考虑 \(i\) 在 \(1\) 之前的概率，概率显然为 $ \frac{a[i]}{a[i]+a[1]}$。

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
double ans, a[N];
int main(){
    freopen("ill.in", "r", stdin);
    freopen("ill.out", "w", stdout);
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 2; i <= n; i++) ans = ans + a[i] / (a[i] + a[1]);
    printf("%.3lf\n", ans + 1);
    return 0;
}