拼接字符串要求字典序最小

好唐啊，这种题我目前已经知道三道一样的了，无聊记录一下。

传递性可以通过 题解：P1012 [NOIP 1998 提高组] 拼数 中的转小数来证明，而最优性就是，我们本来就考虑的相邻两个 \(i,j\) 谁在前面更优，显然把，当然我当时的题解里的理解方法也许也能参考。

CF632C - The Smallest String Concatenation & luogu - P1012 [NOIP 1998 提高组] 拼数 & [ABC225F] String Cards（这题排序后，从后往前 dp 即可，但是从前往后 dp 也行，不过还得背个长度）

[ABC434F] Concat (2nd)

一道题。

给 \(n\) 个字符串，给字符串安排顺序并拼接，可以获得 \(n!\) 个字符串，求这 \(n!\) 个字符串按字典序从小到大排序后的第二个。

多测，\(1 \le T \le 1.5 \cdot 10^5\) 且 \(2 \le n \le 3 \cdot 10^5\) 且 \(\sum\limits n \le 3 \cdot 10^5\) 且 \(\sum\limits{|s|} \le 10^6\) 且 \(s\) 只由小写英文字母构成，1s & 1GB。

最小的是好求的，按照 \(s_i + s_j < s_j + s_i\) 排序即可，嘶，这个排序的时间复杂度怎样？

• 先明确最坏情况下是 \(O(n \log n \max\limits_{i=1}^{n}{|s|})\)。
• 先来了解一下 c++STL 中 sort 和 stable_sort 分别是怎么排序的：
  • sort
    • 快速排序：作为主要排序算法，平均性能好
    • 堆排序：当递归深度过大时切换到堆排序，保证 \(O(n \log n)\) 的最坏时间复杂度
    • 插入排序：对于小子序列（通常 \(\le 16\) 个元素）使用插入排序
  • stable_sort
    • 使用的归并排序的变种。
    • 如果内存充足，使用标准的归并排序。
    • 如果内存不足，使用原地归并或外部归并的变种。
• 考虑 shuffle 一下，可以感性理解每个字符串的比较次数是相等的，时间复杂度 \(O(\sum\limits{|s|} \log n)\)。
  • 这篇题解 Link 里是把快速排序复杂度给算了一遍，有点宝宝，我也不太会解释这个东西，有没有大蛇解释的。
• 当然还可以二分哈希。

现在考虑次小的，假设已经给字符串排序了：

• 如果一对相邻的 \(a+b=b+a\) 次小就是最小。
• 如果多次交换（\(\ge 2\) 次）肯定不是次小，好理解。
• 如果交换不想临的位置，肯定不是次小，也好理解。
• 所以有关次小的问题，可以从多个角度入手，结合得出结论，因为次小的性质极多。

只剩下 \(n-1\) 种字符串了，看上去还不够啊，继续玩。

• 考虑翻转最后两个得到的字符串 \(B\) 和最小字符串 \(A\)，如果 \(B\) 不是次小，次小一定在 \(A,B\) 之间，即前 \(n-2\) 个字符串必须得是这样。
• 所以只剩下了，翻转 \(n-1,n\) 的和翻转 \(n-2,n-1\) 的了，比较即可。