min-max 容斥

前置知识

请牢记二项式定理：
\((a+b)^n = \sum\limits_{i=0}^{n}{\dbinom{n}{i}a^{n-i}b^i}\)

或另外一种形式：
\((a+1)^n = \sum\limits_{i=0}^{n}{\dbinom{n}{i}a^{n-i}} = \sum\limits_{i=0}^{n}{\dbinom{n}{i}a^{i}}\)

min-max 容斥

学习

min-max 容斥的主要思想是给每个子集分配一个系数（然后每个属于子集的 \(a_i\) 的系数加上该系数），使得 \(S\) 的最大值 \(a_i\) 的系数为 \(1\)，其余为 \(0\)。

问：一个集合 \(S\)，每次可以询问一个子集的 min 值，如何求 \(S\) 的 max 值？

\(S\) 的 max 等于 \(\sum\limits_{T\subseteq S}{(-1)^{|T| - 1}min(T)}\)。

证明：

• 假设 \(S\) 是从大到小排序的，长度为 \(n\)。
• 那么 \(T\subseteq S\) 满足 \(min(T) = a_k\) 的系数之和（\((-1)^{|T| - 1}\)）是多少？
• 是 \(\sum_{l = 0}^{k - 1}{\dbinom{k-1}{l}(-1)^{l}}\)
• 注意到这就是二项式定理，等于 \((-1+1)^{k-1}\)，即 \(0^{k-1}\)
• 显然只有当 \(k = 1\) 的时候（即最大值）系数之和为 \(1\)，其他都是 \(0\)。

注意到 min-max 容斥的原理是配系数，而期望可以加和，所以有套期望的 min-max 容斥公式（\(E\) 表示期望）：

\(E(max(S)) = \sum\limits_{T\subseteq S}{(-1)^{|T| - 1}E(min(T))}\)

min-max 容斥的 \(min\) 和 \(max\) 反过来同理。

练习

如果题目说求 “所有都到达的期望步数” 或 “至少到达一个的期望步数” 等类似的话，都应该考虑一下 min-max 容斥。

• 例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3175
  • 发现每一位的期望是独立的，然而题目要求得就是 \(E(max(S))\)，min-max 容斥转化为求子集 \(T\) 的 \(E(min(T))\)。
  • 发现是一个无限等比且等差数列求和，推一推就可以做了，暴力枚举子集这是 \(O(3^n)\) 的，需要高维前缀和优化。
• 练习题：https://www.luogu.com.cn/problem/P5643
• 练习题：https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc331_g

拓展 min-max 容斥

学习

蒟蒻不太懂证明。

\(E(max(S)) = \sum\limits_{T\subseteq S 且 |T| \ge k}{(-1)^{|T| - 1}\dbinom{|T|-1}{k-1}E(min(T))}\)

https://www.luogu.com.cn/article/t2zqvdou 里有证明

练习

• 练习题：https://www.luogu.com.cn/problem/P4707