【CH0503】奇数码问题

题目描述

你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个3×3的网格中进行的,1个空格和1~8这8个数字恰好不重不漏地分布在这3×3的网格中。

例如：

5 2 8
1 3 _
4 6 7

在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

例如在上例中，空格可与左、上、下面的数字交换，分别变成：

5 2 8       5 2 _      5 2 8
1 _ 3       1 3 8      1 3 7
4 6 7       4 6 7      4 6 _

奇数码游戏是它的一个扩展，在一个\(n×n\)的网格中进行，其中\(n\)为奇数，1个空格和\(1\sim n^2−1\)这\(n^2−1\)个数恰好不重不漏地分布在\(n×n\)的网格中。

空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个\(n=3\)的奇数码游戏。

现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。

传送门

输入输出格式

输入格式：

多组数据，对于每组数据：

第1行输入一个整数\(n\)，\(n\)为奇数。

接下来\(n\)行每行\(n\)个整数，表示第一个局面。

再接下来\(n\)行每行\(n\)个整数，表示第二个局面。

局面中每个整数都是\(0\sim n^2−1\)之一，其中用\(0\)代表空格，其余数值与奇数码游戏中的意义相同，保证这些整数的分布不重不漏。

输出格式：

对于每组数据，若两个局面可达，输出\(TAK\)，否则输出\(NIE\)。

输入输出样例

输入样例#1：

3
1 2 3
0 4 6
7 5 8
1 2 3
4 5 6
7 8 0
1
0
0

输出样例#1：

TAK
TAK

分析

思路来源：某大佬的讨论

分两种情况：

1. \(n\)为奇数。则和八数码问题一样，求出逆序，若两种局面逆序的奇偶性相同，则可行，反之则不可行。
2. \(n\)为偶数。则先分别求出逆序，再求出空格位置所在的行到目标空格所在的行的步数为空格的距离。若逆序奇偶性相同且空格距离为偶数则可行，若奇偶性不同且空格距离为奇数也可行，否则则不可行。(不过这题只有奇数)

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#define lowbit(i) i&-i
using namespace std;
int n;
int c[250001];
void add(int i,int v){
	while(i<=n){
		c[i]+=v;
		i+=lowbit(i);
	}
}
int query(int i){
	int ret=0;
	while(i>0){
		ret+=c[i];
		i-=lowbit(i);
	}
	return ret;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	while(cin>>n){
		int ret1=0,ret2=0;
		int x,tot=0;
		n*=n;
		memset(c,0,sizeof(c));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>x;
			if(x){
				ret1+=tot-query(x-1);
				add(x,1);
				tot++;
			}
		}
		memset(c,0,sizeof(c));
		tot=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>x;
			if(x){
				ret2+=tot-query(x-1);
				add(x,1);
				tot++;
			}
		}
		if((ret1&1)==(ret2&1)) puts("TAK");
		else puts("NIE");
	}
	return 0;
}