第三章作业

算法第三章实践报告

这题一开始看“必须在 2N-1 个单位时间出去”有点懵，其实 N×N 网格从左上到右下，最短就是走 2N-1 个格子，所以商人不能绕路，只能向右或向下走。这样题目就变成了：从左上走到右下，每次只能往右或往下，求最小费用路径和。

1. 动态规划分析

1.1 递归方程式和边界条件

定义 dp[i][j] 表示从左上角 (1,1) 走到 (i,j) 的最小费用。

因为只能从上面或左边过来，所以：

dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

其中 a[i][j] 是格子 (i,j) 的费用。

边界条件：

· dp[1][1] = a[1][1]
· 第一行只能从左边来：dp[1][j] = dp[1][j-1] + a[1][j]
· 第一列只能从上边来：dp[i][1] = dp[i-1][1] + a[i][1]

1.2 填表法

表的维度：二维表，大小是 N × N。

填表范围：i 从 1 到 N，j 从 1 到 N。

填表顺序：按行从上到下填，每一行从左到右填。因为 dp[i][j] 只依赖上面和左边，所以这个顺序能保证用到的值已经算好。

原问题的最优值就是 dp[N][N]，也就是从左上角到右下角的最小费用。

1.3 复杂度

时间复杂度：每个格子算一次，每次常数时间，所以是 O(N²)。

空间复杂度：开了 N×N 的 dp 表，所以是 O(N²)。其实也可以滚动数组优化到 O(N)，但按填表法写就是 O(N²)。

2. 对动态规划的理解和体会

动态规划感觉就是先把大问题拆成小问题，把算过的结果存起来，后面直接用，避免重复计算。这题关键是想清楚状态 dp[i][j] 表示什么，然后找到它和上面、左边的转移关系。还有那个 2N-1 的时间限制，其实是在暗示只能向右或向下走，不然就会超时。总的来说，动态规划不难在代码，难在状态定义和转移方程，想明白了写起来就挺顺的。