机器人-数理基础(二)

机器人学基础（第2版）

2.2 坐标变换

平移坐标变换： 设坐标系{B}与坐标系{A}具有相同的姿态，但两者原点不重合。用位置矢量 ${}^A{P}_{B_o}$ 描述{B}相对于{A}的位置，称 ${}^A{P}_{B_o}$为{B}相对于{A}的平移矢量。如果点P在坐标系{B}中的位置为${}^{B}P$，那么它相对于坐标系{A}的位置矢量${}^{A}P$可由矢量相加得出，即
$${}^{A}P={}^{B}P{+}^A{P}_{B_o}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

旋转坐标变换： 设坐标系{B}与坐标系{A}具有共同的原点，但两者的姿态不同。用旋转矩阵${}_B^{A}R$ 描述{B}相对于{A}的姿态。同一点P在两个坐标系{A}和{B}的描述${}^{A}P$和${}^{B}P$具有如下变换关系：
$${}^{A}P={}_B^{A}R{}^{B}P\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
正交矩阵${}_B^{A}R$性质：${}_B^{A}R={}_B^A{R}^{-1}={{}_B^{A}R}^T$

一般情形： 设坐标系{B}与坐标系{A}的原点既不重合，姿态也不相同。对于任一点P在坐标系{A}和{B}中的描述${}^{A}P$ 和 ${}^{B}P$具有以下变换关系：
$${}^{A}P={}_B^{A}R{}^{B}P{+}^A{P}_{B_o}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

---

2.3 齐次坐标变换

式(2.3)对于点${}^{B}P$而言是非齐次的，但是可以将其表示成等价的其次变换形式：
$$\left[\begin{array}{c}{}^{A}P\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{}_B^{A}R& ⋮& {}^A{P}_{B_o}\\ \dots \dots & \cdot & \dots \dots .\\ 0& ⋮& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{}^{A}P\\ \dots \\ 1\end{array}\right]{=}_B^{A}T\left[\begin{array}{c}{}^{A}P\\ \dots \\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2.4)}$$其中，4X1的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然记为${}^{A}P$和${}^{B}P$。可把上式写成矩阵形式：$${}^{A}P={}_B^{A}T{}^{B}P\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
坐标原点的矢量，即零矢量表示为${\left[0,0,0,1\right]}^T$，但没有定义。用${\left[1,0,0,0\right]}^T$，${\left[0,1,0,0\right]}^T$和${\left[0,0,1,0\right]}^T$分别表示 $x，y，z$轴的方向。