完全二叉堆和左式堆

1.完全二叉堆

分类： 最大堆和最小堆。

最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；

最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

 

背景：完全二叉树

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

 

 

完全二叉堆结构：

逻辑上，等同于完全二叉树；

物理上，直接借助向量实现。

 

计算节点位置：（以节点i 为例）

若存在父节点，父节点的位置为 (i-1)/2；

若存在左孩子，左孩子的位置为 i*2+1；（奇数）

若存在右孩子，右孩子的位置为 i*2+2；（偶数）

 

二叉堆的上滤（插入）：[时间复杂度o(logn)]

1、当插入一个新元素时，放在最末尾。

2、若有父节点，将插入节点和父节点比较，如果插入节点大于父节点，交换位置。

3、重复2，直至插入节点不小于父节点或者没有父节点，上滤结束。

 

二叉堆的下滤（删除）：

1、删除首元素，将最后一个元素移到首节点。

2、若有孩子，则比较该节点和最大孩子的值，若小于最大孩子的值，与最大的孩子互换位置。

3、重复2，直至该节点的值大于最大孩子的值或者没有孩子，下滤结束，堆序性得以满足。

 

二叉堆的建堆：

1、蛮力算法：（自上而下的上滤）

将每个元素插入到二叉堆，经过上滤调整组成二叉堆。

效率：时间复杂度o(nlogn)，太大，完全可以做一个全排序。

2、自下而上的下滤（推荐）

从最后一个内部节点（有孩子的节点，公式（n/2-1））开始，进行下滤合并，再向前移一个节点，下滤合并直至首节点。

效率：时间复杂度o(n)，节点内部所需调整的时间正比于高度，而不是深度。（高度越高，下滤时间就越长）

 

堆排序：

1、将数组中的元素，采用下滤的方式建堆。

2、将堆的首元素和末元素交换，最大的元素放在最后，前面组成一个新的堆，新堆的首元素下滤组成最大堆。

3、重复2，直至堆的规模变成1。

 

2.左式堆：

保持堆序性，附加单侧倾斜（节点分布偏向左侧，合并操作只涉及右侧）的新条件，来使堆的合并过程中只需调整很少的部分节点。

 

左式堆 的结构性：

在拓扑上不一定是完全二叉树，但是结构性并非堆结构的本质要求，可以牺牲掉。因此不采用向量，而是使用二叉树来实现。

 

空节点路径长度（NPL）：

引入外部节点，外部节点的值为0。

 

npl(null) = 0

npl(x) = 1 + min( npl( lc(x) ), npl( rc(x) ) )

 

npl(x) = x到外部节点的最近距离；

npl(x) = x为根的最大满子树的高度。

 

左式堆的定义：

左倾:对任意节点x，都有npl( lc(x) ) > npl( rc(x) )

左式堆的任意一个子堆都是左式堆