动态规划_备忘录法_多段图问题

目录

• 问题应用_资源分配问题
  • 问题描述
  • 问题分析
• 多段图问题
  • 多段图概述
  • 递推关系
  • 程序设计
  • 代码
• 结束语

问题应用_资源分配问题

问题描述

将\(n\)个资源分配给\(r\)个项目，已知如果把\(j\)个资源分配给第\(i\)个项目，可以收益\(N(i,j),0 \leq j \leq n,1 \leq i \leq r\),求总收益最大的资源分配方案。

问题分析

1.用\(r+1\)段图描述
2.每个状态节点\(V(i,j)\)代表已将\(j\)个资源分配给前\(i-1\)个项目
3.边都具有\((V(i,j),V(i+1,k))(0 \leq j \leq k \leq n,1 \leq i \leq r)\)
4.边上的权值\(N(i,k-j)\)是本次分配的收益
5.\(r+1\)个阶段

• 第一个阶段：开始阶段尚未分配任何资源，只包含一个初始状态\(S=V(1，0)\)
• 第\(r+1\)阶段：结束阶段，表示整个分配完成，只有一个结束状态\(t=V(r+1,n)\)
• 其他\(r--1\)个中间阶段：每个阶段包含\(n+1\)个状态

多段图问题

多段图概述

设图 \(G =(V,E)\)是一个带权有向图，如果把顶点集合 \(V\) 划分成\(k\)个互不相交的子集 \(V_i(2\leq k\leq n,1\leq i\leq k)\)，使得\(E\) 中的任何一条边 \(<u,v>\)，必有 \(u∈Vi, v∈Vi + m(1\leq i < k, 1<i+m\leq k)\),则称图 \(G\) 为多段图，称 \(s∈V_1\) 为源点，\(t∈V_k\) 为终点。多段图的最短路径问题为从源点到终点的最小代价路径。

递推关系

（从后）向前递推关系式

\[ \begin{cases} cost(i,j)= \min\limits_{j∈V_i,p∈V_{i+1},<i,p>∈E} \{c(j,p)+cost(i+1,p)\} &\text{if } 0\leq i \leq k-2 \\ cost(k,t)=0 \end{cases} \]

\(cost(i,j)\)是从第\(i\)阶段中某个节点状态\(j\)到汇点状态\(t\)的最短路径长度，\(cost(1,0)\)为多段图问题的最优解值，即为所求。
设\(d(i,j)\)表示从第\(i\)阶段节点\(j\)到\(t\)的最短路径上节点\(j\)的下一个节点编号，利用\(d\)值进行反向追溯可确定最短路径上的节点。

程序设计

• 数据结构：采用邻接表存储该有向无环图的节点及边的信息
• 源点\(s\)编号为0，汇点的编号为\(n-1\)（共有\(n\)节点，\(m\)条边）
• \(cost[i]\)保存节点\(i\)到汇点\(t\)的最短路径长度
• \(cost[n-1]\)为0，汇点到汇点的最短路径长度为0
• \(cost[0]\)为最优解值，为计算\(cost[j]\),必须计算子问题：后继节点\(p\)到汇点的最短路径\(cost[p]\)
• \(cost[j]=\min\{c(j,p)+cost[p]\}\),\(c(j,p)\)为边\(<j,p>\)的长度（权）

代码

• 节点结构

Struct ENode{
	int adjVex;
	int w;
	ENode *nextArc
}

• 其他变量

vector<Struct ENode> a;//邻接表，数组中存节点
vector<int> cost;//最短长度
int n;//总节点数
int m;//总边数

• 构建邻接表

void CreatGraph(){
	int u,v;
	int w;
	Struct ENode t;
	for(int i = 0;i < n;i ++){
		a.push_back(t);
	}
	for(int i = 0;i < m;i ++){
		cin >> u >> v >> w;
		t->adjVex = v;
		t->nextArc = a[u];
		t->w = w;
		a[u] = t;
	}
}

• 向前递推算法

void FMultiGraph(){
	cost[n-1] = 0;
	int min;
	Struct ENode r;
	for(int i = n-2;i >= 0;i --){
		min = max;
		for(Struct ENode r = a[i];r;r = r->nextArc){
			if(r->w + cost[r->adjVex] < min){
				min = r->w + cost[r->adjVex];
			}
		}
		cost[i] = min;
	}
}

结束语

旅人等在这里，虔诚仰望着云开