题解：CF1973C Cat, Fox and Double Maximum

题意简述

link: 题面

给定长度为 \(n\) 的排列 \(p\)，构造另一长度为 \(n\) 的排列 \(q\)，使得新序列 \(a\) \((a_i = p_i + q_i)\) 有最多的局部最大值，求任意 \(q\)。

局部最大值是指对于一个位置 \(i (1 \lt i \lt n)\)，\(a_i \gt a_{i-1}\) 且 \(a_i \gt a_{i+1}\)。

题目分析

思路过程

由于局部最大值严格大于两边，所以 \(a\) 序列中相邻两个数不可能都是局部最大值，那么，长为 \(n\) 的 \(a\) 序列中最多有 \(\frac{n}{2}\) 个局部最大值。

由于 \(p\) 和 \(q\) 都是长度为 \(n\) 的排列，所以将 \(p\) 设为 \(p = \{1, 2, \dots , n\}\)，将 \(q\) 设为 \(q = \{n, n - 1, \dots , 1\}\) 后，\(a\) 序列的每个数都为 \(n + 1\)。

考虑在这个基础之上构造，使 \(a\) 序列的偶数位都增加 \(1\)，这样成功构造了有 \(\frac{n}{2}\) 个局部最大值的序列。那么对应的 \(q\) 的偶数位都要加 \(1\)，（若 \(q\) 的偶数位上有 \(n\) 这个数，我们考虑在奇数位上构造，避免越界）,这时，我们不再能保证 \(q\) 是个排列，\(q\) 的某些位可能会重复。原因就是被加 \(1\) 的偶数位占了位置，而它们本来的位置空了出来。我们考虑将被占奇数位调整到空位上，即可完成对 \(q\) 的构造。

对奇数位的构造也类似，这里只解释偶数位了。

实现与证明

具体实现上，先算出 \(q\) 的初始状态，然后考虑先让 \(q\) 中偶数位改变后的值占位，用 vis 打标记。之后将 \(q\) 的奇数位放入 vector 中排序，从小到大地枚举 vector 中的数，若本来的位置没被占，就可以直接打标记占领这个位置；若被占，则寻找目前没被占领的最小数去占领，并改动对应的 \(q\) 中的值。

为什么从小到大排序配位置正确？

考虑对被占位的奇数位的数字 \(x\)，\(x - 1\) 可能空了出来，若还是被占位，\(x - 2\) 可能空了…… 所以每个被占位的数，总会有一个比它小的数留给它，从小到大枚举奇数位的数，找到的替代位必然小于这个数，所以 \(a\) 序列奇数位这些不该变大的位不会变大，只会变小，满足题意。

\(Code\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

const int NR = 1e5 + 10;
int p[NR], q[NR];
int vis[NR], pos[NR];
vector<int> v;

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while (T --)
	{
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		v.clear();
		int n;
		scanf("%d", &n);
		int flag = 0; // 判断偶数位是否有 n 而导致 q 数组越界
		for (int i = 1; i <= n; i ++)
		{
			scanf("%d", &p[i]);
			q[i] = n + 1 - p[i];
			if (i % 2 == 0 && q[i] == n) flag = 1;
		}
		// 需要 +1 做贡献的位
		for (int i = 2 - flag; i <= n; i += 2)
		{
			q[i] ++;
			vis[q[i]] ++;
		}
		// 其余（可能）需要调整的位
		for (int i = 1 + flag; i <= n; i += 2)
		{
			v.push_back(q[i]);
			pos[q[i]] = i;
		}
		sort(v.begin(), v.end());
		int avb = 1; // 不断用来查找从 1 开始可用的位，相当于指针
		for (int i = 0; i < (int)v.size(); i ++)
		{
			if (vis[v[i]])
			{
				// 这个位置已经被占，需要调整
				while (vis[avb]) avb ++;
				q[pos[v[i]]] = avb;
				vis[avb] = 1;
			}
			else
			{
				// 这个位置没有被占，占领这里
				vis[v[i]] = 1;
			}
		}
		for (int i = 1; i <= n; i ++)
		{
			printf("%d ", q[i]);
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}