开拓计划4 - 二叉树与并查集

开拓计划4 - 二叉树与并查集

二叉树

二叉树的概念

• Q：什么是树？
• A：一种有 \(n\) 个节点最多有 \(n-1\) 条边的图。
• Q：什么是二叉树？
• A：每个节点都最多只有两个子节点的树。

二叉树和递归

• Q：二叉树和递归有什么关系？

• A：在执行递归的时候总是会自己调用自己，每一次调用都会产生新的一层，新的这几个需要执行的函数就成为了当前节点的子节点，一颗递归树就能画出来。

NKOJ 4376 遍历二叉树1

思路：二叉树的入门应用。

实现方法

• 先序遍历是根左右，中序遍历是左根右，后序遍历是左右根。
• 按照顺序，执行输出，向左递归，向右递归。

注意事项

1. 在遍历二叉树时，注意是从根节点开始，不是从 \(1\) 号结点开始。

NKOJ 3909 遍历二叉树2

思路：二叉树的简单应用。

实现方法

• 用先序确定根节点，再通过中序，确定哪些是左子树，那些是右子树。
• 左右分别递归下去，要求后续，递归写完再输出。

注意事项

1. 注意递归时不要把自己也递归了。

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NKOJ 8599 无根树

思路：二叉树的简单应用。

实现方法

• 简单地从根节点开始递归遍历二叉树，每深入一层记录层数的 k 就 \(+1\) 每次取 k 的最大值。

注意事项

1. 一定不要用邻接矩阵存储二叉树，会 TLE 。

并查集

对并查集的一些看法

• 并查集虽然是和集合有关，但是并没有遵循数学中对集合的严格规定，表达的更多是一种节点与节点之间的关系。

并查集的原理

• Q：并查集的使用场景和理论基础是什么？

• A：在二叉树中，每个节点都有自己的父节点(可以认为根节点的父节点是它自己)，如果题目给了节点之间的关系(不一定是从属关系)，就可以把两个节点放在同一棵二叉树里，如果要找两个节点在不在同一个集合，只需要找它们的父亲节点是否相同。

• Q：并查集如何存储？

• A：由于并查集需要经常找父亲，所以我们在数组中存储每个节点的父节点编号，初始时每个节点的父节点是它自己。

• Q：并查集如何查找？

• A：不断地向上递归，只要当前节点有父就继续想上找父节点，直到找到根节点就返回。

• Q：并查集如何合并？

• A：有两个节点要合并，就先判断是否在同一个集合中，如果不在就将一个的根节点变成另一个的根节点。

并查集的路径压缩

• Q：为什么要路径压缩？
• A：当并查集的所有节点成一条链状的时候，向上查找的时间复杂度会达到 \(O_n\) 我们无法接受，采用路径压缩优化。
• Q：路径压缩怎么写？
• A：当我要向上找一个节点的父节点只要找到祖宗，就将它的父节点直接设为祖宗节点(有点像一个城市要向中央汇报工作，要先向省级政府汇报，但如果是直辖市就可以直接跳过省级政府)。

并查集模板代码

int fa[20005];
int find(int x){
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=find(fa[x]);//路径压缩
}
//核心找父节点
void merge(int x,int y){
	int fx=find(x);
	int fy=find(y);
	if(fx!=fy) fa[fx]=fy;
}
bool same(int x,int y){
	return find(x)==find(y);
}
void init(){
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
}

NKOJ 1205 亲戚

思路：并查集模板题

NKOJ 3197 岛屿

思路：并查集模板题

NKOJ 5614 加点

思路：可以直接到的加一个并查集，一共有几个并查集

NKOJ 2081 学外语

思路：会同一种语言的员工加一个并查集，一共有几个并查集

NKOJ 5681 交换排列

思路：一道看着像思维题的并查集

实现方法

• 能交换的两个点之间连一条边，计算有多少个点和它应该在的位置不在同一个集合中。

带权并查集

带权并查集的原理

• Q：带权并查集的原理是什么？
• A：带权并查集，是在常规的并查集的基础上给每一个点都加上了权值，并在路径压缩和合并的时候更新。给每一个点都带上权值，大大提升了并查集的作用范围。
• Q：权值可以带什么？
• A：一般可以带区间和、区间和的奇偶性、点与点之间的关系 etc.

带权并查集的模板代码

以求区间和为例

void getf(int x){
	if(f[x]!=x){
		int t=f[x];
		f[x]=getf(f[x]);
		val[x]+=val[t];//更新权值
	}
	return f[x];
}
void merge(int x,int y,int v){
	int fx=getf(x),fy=getf(y);
	if(fx==fy) return;
	f[fx]=fy;
	val[fx]=val[y]-val[x]+v;
}

时光倒流思想

• Q：什么是时光倒流思想？
• A：时光倒流思想，是将所有的输入数据输入进来，发现用题目告诉我们的方法直接用数据结构模拟难以实现(如并查集难以实现删边)，将数据倒序操作变成原来的相反操作(如并查集的删边变成加边)。

NKOJ 5682 果老师炸桥

题意

• 对于一个无向图，每次删一条边，求每次删完后有多少对点无法互相到达。

思路：带权并查集+时光倒流

实现方法

• 每次合并时将集合大小一同进行合并，每删一次边就会有那两个集合内的点两两不可达。
• 由于可撤销并查集，代码多时间高，于是采用时光倒流和简单带权并查集。

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NKOJ 2281 方块游戏

思路：带权并查集

实现方法

• 用两个数组分别记录当前方块堆的高度，和距离根节点的距离，只有这样才能使用路径压缩。
• 每次在 getf 函数中更新距离根节点的距离，在 merge 函数中更新 dis 和 hgt 。把距离根节点的距离加上堆在它顶上那一堆原来的高度，高度也加上那一堆的高度，把被移动后的高度归零。
• 每次查询的时候要先跑一遍 getf ，类似于线段树的下放懒标记的操作。