二分练习plus - 二分

二分练习plus - 二分

二分的理论基础

二分的作用

• Q：二分有什么作用？
• A：二分可以在 \(O_{\log n}\) 的时间内找到特定的值。

二分的原理

• Q：二分的原理是什么？

• A：二分的本质是分治，把从一个大区间里找东西的问题根据找的东西的大小分成两半，只查找答案可能在的范围，不可能在的范围不管。

• Q：时间复杂度为什么是 \(O_{\log n}\) ？

• A：因为每次将区间缩小到原来的一半，共缩小 \(\log n\) 次到 \(1\) 。

• Q：二分的递归写法和循环写法区别在哪里？

• A：二分的递归写法如下：

  void bs(int left,int right,int t){
      int mid=left+right>>1;
      if(left>right) return;
  //	if(arr[mid]==t) return; //用于找第一个出现的
      if(arr[mid]<t) bs(mid+1,right,t);
      else bs(left,mid-1,t);
  }
  

  循环写法如下：

  void bs(int l,int r,int t){
  	int left=l,right=r;
      while(left<=right){
      	int mid=left+right>>1;
          if(arr[mid]==t) return;
          if(arr[mid]<t) left=mid+1;
          else right=mid-1;
      }
  }
  

  它们之间的区别在于，循环写法更简单好写，递归容易死递归、爆栈等，所以用循环而一般不用递归。

• Q：找第一个大于等于某个数的值和找最后一个小于等于某个数的值，有什么区别？

• A：

  • 在二分时，一个是答案符合要求先保留，看能不能更大，另一个是看能不能更小。
  • 找最后一个小于等于某个数的值时，要注意 mid 向上取整，不然分得不够均匀会死循环。

二分的注意事项

1. 使用二分时务必保证数据满足单调性。
2. 注意实数二分时要设置 eps 因为 left 和 right 一般不会相遇。
3. 注意 mid 的不同写法一般是 mid=left+right>>1 在实数中是 mid=(left+right)/2.0 如果有越界风险可以写 (left>>1)+(right>>1) 。

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NKOJ 1190 何老板的淘宝店2.0

思路：二分模板

实现方法：

• lower_bound(arr+1,arr+1+n,需要查找的数) 。

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NKOJ 1048 【分类练习4.分治法】求方程的根

思路：用二分求方程的解。

实现方法：

• 在实数中二分方程的解。
• 如果满足方程，输出。

注意事项：

1. 开始时注意判断是不是 NO 。

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NKOJ 3592 人数统计

法一

思路：map 。

实现方法：

• 把每个 \(k\) 都用 map 记录下来。
• 问什么输出什么。

法二

思路：二分。

实现方法：

• 先给数组排序。
• 每个询问搜第一个大于 \(x\) 的值，和最后一个小于等于 \(x\) 的值，然后做差。

NKOJ 3593 工资统计

与NKOJ 3592完全相同。

NKOJ 1934 外地人

法一

思路：map 。

实现方法：

• 把每个字符串都用 map 记录下来。
• 问什么输出什么。

法二

思路：二分。

实现方法：

• 先给按字典序排序。
• 每个询问用二分询问的字符串，输出对应的字符串。

注意事项：在用字符串 cin 时，一定要加 ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0) 。

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NKOJ 3144 何老板的淘宝店3.0

思路：找数，如果没有就是第一个大于等于它的和最后一个小于等于它的比较，谁接近用谁

二分答案

二分答案的使用场景

• Q：为什们要用二分答案？
• A：因为有的题目中，答案不能通过贪心直接计算，而需要循环枚举检查其是否可行，循环速度很慢，所以使用二分。

check 函数怎么写

• Q：check 函数的实现思路是什么？
• A：根据你二分的答案，带入题目场景中，检查符不符合题目给定的限制。注意：答案是不是最大 / 最小不是 check 函数检查的地方。

NKOJ 3145 洗衣服

思路：二分答案

实现方法：

• 二分所需的最少时间。
• check 函数：如果规定时间内能自然烘干就跳过，否则就给计数变量加上当前衣服用散热器烘的时间。

注意事项：

1. 注意在开始时将 k 减 \(1\) 。

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课件例题 砍甘蔗

思路：二分答案

实现方法：

• 二分最长的甘蔗最短的长度。
• check 函数：从头开一段新的，只要大于要求的甘蔗长度就新开一段，检查 \(m\) 段能不能装完。

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NKOJ 1192 收入计划

与上题完全相同。

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NKOJ 1007 书的复制

思路：与砍甘蔗相同，考虑如何输出。

实现方法：

• 先采用砍甘蔗测略，找到最大的最小是多少。
• 然后用一次 check 函数的代码，把详细的段分出来。
• 注意：题目中说了如果有多解，要让前面的人抄的尽量少 所以需要调整策略。
  • 把整个数组翻转。
  • 输出 \(i\) 时，全部输出 \(n-i+1\) 。
  • 从小到大输出。

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洛谷 1824 进击的奶牛

思路：类似于砍甘蔗，区别在于一个是最大的最小，一个是最小的最大。

实现方法：

• 调整二分，将其改为求最小的最大。
• check 函数完全相同。

二分小技巧

• 一般题目中说到 “最大 / 小值最小 / 大”，可以考虑二分答案。
• 一般题目如果是二分答案，就问什么二分什么。