费马小定理(Fermat Theory)

假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

 

当涉及取模运算的计算中，如果有除法，不能直接除以一个数，而应该变成乘以它的乘法逆元。

当我们除以一个数n时，也就是乘上1/n，若x是1/n关于模N的逆元，则x=1/n (mod N)，即 x*n=1(mod N)。由于我们做题时N常常为1000000007，而1000000007是个素数，

所以它满足了费马小定理，而满足费马小定理说明解唯一，所以我们可以直接得出x*n=n^(N-1)。那么x=n^(N-2),即为1/n关于模N的乘法逆元

 

求出乘法逆元 （快速幂处理） a^b

 1 ll quickmod(ll a,ll b)
 2 {
 3     ll sum=1;
 4     while(b)
 5     {
 6         if(b&1)
 7             sum=(sum*a)%mod;
 8         b>>=1;
 9         a=(a*a)%mod;
10     }
11     return sum;
12 }

 

拓展欧几里得

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中

扩展欧几里得。aa^-1≡ 1(mod p)，可以转换为aa^-1 + py = 1，即是扩展欧几里得所能解的ax + by = gcd(a, b)。最常用的解法。

 1 int x, y;
 2 int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
 3 {
 4     if (b == 0){
 5         x = 1;
 6         y = 0;
 7         return a;
 8     }
 9     int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
10     int tmp = x;
11     x = y;
12     y = tmp - (a/b) * y;
13     return gcd;
14 }
15 
16 /*
17 求解ax+by=gcd(a,b)，亦即ax≡1(mod b)。函数返回值是a,b的最大公约数，而x即a的逆元。
18 注意a, b不能写反了。
19 */

 

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但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

 

         

 

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

 

         

m*b如果爆int 需要使用快速幂