CF1545D AquaMoon and Wrong Coordinate 题解

一年前做的题现在来补一发题解（）。

思路：

首先题目很抽象，考虑形式化题面。

但这题确实容易摸不着头脑，可以先缩小问题考虑怎样确定某一行。

简单来说，我们需要构造一个多元哈希函数，使得：

• 任意两项交换后值不变。

• 可以判断是否各项均为等差数列。

考虑到交换律难搞，直接再缩小问题，考虑一个数的情况。

考虑性质二，如果我们要判断某项为等差数列，我们首先要确定该函数原来的值，然后比较。

已知多个点确定某位置的值，这让我们回想起拉格朗日插值。

$(n+1)$ 个点可以确定一个 $n$ 次多项式。

我们只需要令构造的函数是一个多项式即可，考虑到本来就有一个等差数列嵌套，可以直接选取 $f(x) = x$。

返回交换律那里，我们可以直接找一个有交换律的运算连接，为方便计算可以直接取和。

所以事实上，我们此时就是取了每行的和用于比较，这样即可确定某行。

回到原问题，如何确定某个数应被修改，与修改成多少。

这还是很难，考虑继续缩小问题，枚举每个该行的位置，转化为判定性问题。

（以下所有都建立在假设某个位置应修改的前提下）

似乎没思路了？理一理已知信息。

假设某个位置是应被修改的，此时我们知道：

• 该行其他位置正确的数，这也就导出了所有除它外的哈希值之和

• 通过其他行的哈希值确定的该行哈希函数原来的值，即该行哈希函数之和

这样我们其实已知了该位置的哈希值，这样即可确定该位置被修改成的值。

那么如何判定当前是否合法，这就回到了上一个问题。

复读并改动一下：

$(n+1)$ 个点可以确定一个 $n$ 次多项式。

我们只需要令构造的函数是一个多项式即可，考虑到本来就有一个等差数列嵌套，可以直接选取 $f(x) = x^2$。

实现：

后面可以预处理出不被修改的所有行的哈希值，降低复杂度。

这样就有一个时间复杂度 $O(n^2)$ 的做法。