杂项总结

2023.7.9

1. 曼哈顿距离和切比雪夫距离转换：

• 结论

将 $(x,y)$ 变为 $(\frac{x+y}2,\frac{x−y}2)$ 后，原坐标系中的切比雪夫距离$=$新坐标系中的曼哈顿距离

将 $(x,y)$ 变为 $(x+y,x−y)$ 后，原坐标系中的曼哈顿距离$=$新坐标系中的切比雪夫距离

• 证明

有 $|a-b|=\max\{a-b,b-a\}$.

• 曼哈顿距离转切比雪夫距离

  $$|x1-x2|+|y1-y2|$$

  $$=\max\{x1-x2,x2-x1\}+\max\{y1-y2,y2-y1\}$$

  $$=\max\{(x1-x2)+(y1-y2),(x1-x2)-(y1-y2),-(x1-x2)+(y1-y2),-(x1-x2)-(y1-y2)\}$$

  $$=\max\{|x1+y1|+|x2+y2|,|x1-y1|-|x2-y2|\}$$

  $$=max\{|a1-a2|,|b1-b2|\} $$

• 切比雪夫距离转曼哈顿距离

不好整，咕。

• 应用：

切比雪夫距离不易维护，可以转为曼哈顿距离拆成两维。

例:P3964 [TJOI2013] 松鼠聚会

曼哈顿距离不易用二维数据结构处理，可以转为切比雪夫距离变为正方形。（?）

例:暂无

2023.7.7(原来写的搬运至此)

2. prufer序列

除了解决树的计数外啥用没有。

特点是与无根树形成双射。

具体证明见【模板】Prüfer 序列，此题有Prüfer 序列的定义与两者对应关系的解释。

（我还没过，故不深究）

Prüfer 序列有如下性质、推导：

• 对于度数为 $d_i$ 的点会在 $\text{Prüfer}$ 序列中出现 $d_i-1$ 次。

先设个根。

对于其他节点，有一条边会使其父亲出现。

对于根节点，有一条边会连向某个叶子节点，因为此时为无根树，两个点都被定义为叶子节点。

• 对于给定度数为 $d_{1\sim n}$ 的一棵无根树共有 $\dfrac{(n-2)!}{\prod\limits_{i=1}^n(d_i-1)!}$ 种情况。

整理为 $\text{Prüfer}$ 序列后，即为 $d_i-1$ 个 $i$ 形成的全排列，套用公式即可。

• 对于给定度数的 $n$ 个节点的带标号的形态不同的无根树有 $n^{n-2}$ 个

  $\text{Prüfer}$ 序列长度为 $n-2$ ，每个位置有 $n$ 种可能。

例题一:明明的烦恼

整理为 $\text{Prüfer}$ 序列后，即为 $d_i-1$ 个 $i$ 与一些未给定的位置形成的全排列，套用性质2与3分别计算一部分，由于顺序不定，加个组合数即可。

另，此题要写高精。

例题二:无聊的水题 I

例题三:Clues

例题四:Figures