第四章算法作业

一、我的贪心策略
策略：将区间按右端点从小到大排序，遍历区间时，如果当前区间左端点大于上一个选点，则选择当前区间的右端点作为新点。
核心思想：每次选择能覆盖当前未覆盖区间中结束最早的区间的右端点。

二、证明算法满足贪心选择性质
贪心选择性质证明：
设排序后第一个区间为 [a₁, b₁]。

1. 必要性：任何解必须包含一个点覆盖 [a₁, b₁]
2. 贪心选择：我选择 b₁ 作为第一个点
3. 最优性证明：①假设存在最优解 OPT，第一个点是 p；②由于 p 覆盖 [a₁, b₁]，所以 a₁ ≤ p ≤ b₁；③用 b₁ 替换 p：；④b₁ 仍覆盖 [a₁, b₁]； ⑤对于其他被 p 覆盖的区间 [aᵢ, bᵢ]，因为 b₁ ≥ p 且 b₁ ≤ bᵢ（排序性质），所以 b₁ 也覆盖它们；⑥因此 b₁ 也是一个最优的第一点
   结论：存在一个最优解以我的贪心选择开始。

三、时间复杂度分析

1. 排序：sort(intervals, intervals + n, compare)， C++ sort 平均时间复杂度：O(n log n)
2. 遍历选择：for (int i = 0; i < n; i++)，单层循环：O(n)
3. 总时间复杂度：O(n log n) + O(n) = O(n log n)

四、对贪心算法的理解
本质特征：

1. 局部最优：每一步选择当前状态下的最佳选项
2. 不可逆：选择后不回溯
3. 高效简单：通常实现简洁，运行快速
   适用条件：①贪心选择性质：局部最优能导向全局最优（如本题）；②最优子结构：问题的最优解包含子问题最优解
   我的代码体现了：排序预处理：将问题转化为适合贪心的结构；贪心规则：if (intervals[i].start > lastPoint) 决定何时选新点；结果积累：count 和 lastPoint 记录局部决策
   局限性：不是所有问题都适用（如0-1背包），但适用于具有特定结构的问题。