最小二乘法

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常能够得到一系列成对的数据(x₁, y₁、x₂, y₂... x_m , y_m)；将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，能够令这条直线方程如(式1-1)。 

Y_计= a₀ + a₁ X 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式1-1) 
当中：a₀、a₁ 是随意实数 
为建立这直线方程就要确定a₀和a₁，应用《最小二乘法原理》，将实測值Yi与利用(式1-1)计算值(Y_计=　a₀+　a₁X)的离差(Y_i-　Y_计)的平方和｀〔∑(Y_i - Y_计)²〕最小为“优化判据”。 
令: φ = ∑(Y_i - Y_计)² 　　　　　　　　　　　　　　　(式1-2) 
把(式1-1)代入(式1-2)中得: 
φ = ∑(Y_i - a₀ - a₁ X_i)² 　　　　　　　　　　　　　(式1-3) 
当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 

　　　　　　　　　　(式1-4) 

　　　　　　　　　(式1-5) 　

亦即： 
m a₀ + (∑X_i ) a₁ = ∑Yi 　　　　　　　　　　　　　　(式1-6) 
(∑X_i ) a₀ + (∑X_i² ) a₁ = ∑(X_i, Y_i) 　　　　　　　　(式1-7) 
得到的两个关于a₀、 a₁为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
a₀ = (∑Y_i) / m - a₁(∑X_i) / m (式1-8)
a₁ = [∑X_i Y_i - (∑X_i ∑Y_i)/ m] / [∑X_i² - (∑X_i)² / m)] 　　(式1-9) 
这时把a₀、a₁代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 
在回归过程中，回归的关联式是不可能所有通过每一个回归数据点(x₁, y₁、 x₂, y₂...x_m,y_m),为了推断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行推断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 
R = [∑X_iY_i - m (∑X_i / m)(∑Y_i / m)]/ SQR{[∑X_i² - m (∑X_i / m)²][∑Y_i² - m (∑Y_i / m)²]} 　　　　　　　(式1-10) ＊
在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；X_i、Y_i分别随意一组实验X、Y的数值。

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 最小三乘法

当研究实际中两个变量(x, y)之间的相互关系时，也可得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2 ... xm,ym)；将这些数据描绘在x - y直 角座标系(如图2)中,发现这些点在一条曲线附近，如果这条曲线的一元非线性方程如(式2-1)。

Y_计 = a₀ + a₁ X^k 　　　　　　　　　　　(式2-1) 
当中：a₀、a₁、k是随意实数 
为建立曲线方程，就要确定a₀ 、a₁和 k 值，应用《最小二乘法》相同的方法, 将实測值Yi与计算值 Y_计（Y_计= a₀ + a₁ X_i^k）的离差 (Y_i - Y_计)的平方和〔∑(Y_i - Y_计)²〕为根据：
令: φ = ∑(Y_i - Y_计)²(式2-2)
把(式2-1)代入(式2-2)中得：
φ = ∑(Y_i - a₀ - a₁ X_i^k )² 　　　　　　(式2-3) 
用函数 φ 分别对a₀、a₁ 和 k 求偏导数，令这三个偏导数等于零即：
　　　　　(式2-4) 

　　　　　(式2-5) 

　　　(式2-6) 

得到三个关于a0、a1 和 k，为未知数的三元方程组，解方程组就可以得到数学模型。 
推断数学模型的好坏，相同可借助相关系数“R”，统计量“F” ，剩余标准偏差“S”进行推断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。这种验证非常好时，有的模型计算误差还是非常大，为了更进一步的验证数学模型，必需计算模型的最大误差、平均误差和平均相对误差来验证模型。

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最小三乘法和最小二乘法比較

若对随意曲线用(式3-1) 拟和 
　　Y_计 = a₀ + a₁ X^K 　　　　　　　　(式3-1)  
　“最小二乘法”和“最小三乘法”比較表：

	最小二乘法	最小三乘法
拟和式：	Y计 = a0 + a1 Xk	Y计 = a0 + a1 Xk
优化判据：	∑(Yi - Y计)2	∑(Yi - Y计)2
回归计算结果：	a0 和 a1， k = 1（默认）	a0 、a1　和 　k

通过比較，“最小二乘法”和“最小三乘法”的“优化判据”[∑( Y_i - Y_计)² ] 同样，“最小三乘法”计算了因变量的幂值　k ，“最小二乘法”不计算因变量的幂值 k ，把它默觉得 1 。 
1．“最小三乘法”利用计算幂值，使回归模型函数曲线以不同曲率弯曲，来更好的拟和不同曲率的曲线。它省去了“最小二乘法”中繁琐的建机理模型和线性化处理，使回归模型与数据拟和更好。
2．对多维非线性数据回归，不用“偏最小二乘法”的每因素逐一与目标函数回归建模，再把全部模型捆绑成终于模型的方法，而是全部因素与目标函数，同一时候一次回归成数学模型，在回归时，它不但考虑因素对目标函数的贡献，还把因素之间的影响考虑进去，这种模型要比用“偏最小二乘法”回归的模型准确。
3．“最小二乘法”数据回归一因素数据仅仅有一元 “X”， “最小三乘法” 数据回归一因素数据可有若干个元“X^k1”、“X^k2” 、… “X^kn” 如(式3-2)， 利用这一特性，可使回归模型拟和数据更准确。 
Y_计 = a₀ + a₁ X^k1 + a₂ X^k2 +...+ a_n X ^kn            　　     (式3-2)

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　模型选择

一、机理研究法 
机理研究法是研究某过程的内在联系，对过程如果后，而建立的两个或两个以上因素之间关系的数学方程式；对数学方程式做数学变形处理，找出与预设模型(数学方程式)相相应的元和目标函数，在利用数据回归计算机理模型的系数。 
二、数据研究法 
数据研究法是对两维数据，以两维数据分别为目标函数和因素，因素 X 的变化引起目标函数 Y 变化，这样的变化可分为六种情况如(图3-1)—(图3-6)。 

第一种 线性添加�，随因素 X 添加�，因素 Y 匀速增大。 
另外一种 线性降低，随因素 X 添加�，因素 Y 匀速减小。 
第三种 非线性添加�，随因素 X 添加�，因素 Y 加速增大。 
第四种 非线性添加�，随因素 X 添加�，因素 Y 减速增大。 
第五种 非线性降低，随因素 X 添加�，因素 Y 加速减小。
第六种 非线性降低，随因素 X 添加�，因素 Y 减速减小。 
如果此六种情况方程式为： 
Y = a₀ + a₁ X^k (式4-1)
第一种情况显然 a₀ > 0 时，a₁ ＞ 0、k ＝ 1 
另外一种情况显然 a₀ > 0 时，a₁ ＜ 0、k ＝ 1
第三种情况显然 a₀ > 0 时，a₁ ＞ 0、k ＞ 1、k ＜ 0 
第四种情况显然 a₀ > 0 时，a₁ ＞ 0、0 ＜ k ＜ 1 
第五种情况显然 a₀ > 0 时，a₁ ＜ 0、0 ＜ k ＜ 1 
第六种情况显然 a₀ > 0 时，a₁ ＜ 0、k ＞ 1、 k ＜ 0
通过上述分析总结，确定回归參数(即每一元)的数学式，第三、六种情况，曲线上凹，与指数曲线类似，可选指数形式 e^X ； 第四、五种情况，曲线上凸，与对数形式类似，可选对数形式 LOG(X)(对数底为e)；若选择幂形式 X^k，可依据上述第一种情况至第六种情况中 a₀、a₁、a₂ 和 k 之间的关系选择 k 值。
三、选择回归參数注意问题 
1、当一因素数据中有 0 值时， 此因素数据不可作除数和取对数；可把此维数据加上一个数，使它大于零。 
2、当一因素数据中有负数都有时，此因素数据不可做回归计算；可把此维数据乘上一个负数，使它大于零。 
3、某因素数据取幂时，不可太大和太小，否则回归计算机会中断溢出；有时回归出的模型，不能逆运算。