坦然玲子  

时间复杂度数量级分析

“大 O记法:在这种描述中使用的基本参数是 n,即问题实例的规模,把复杂性或运行时间表达为n的函数。 

注意:“O”表示量级 (order),比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时,运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。 

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的,但在实践中细节也可能造成差异。例如,一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然,随着n足够大以后,具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。 

O(1) 

Temp=i;i=j;j=temp; 

分析: 

     以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。 

     算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。 

     这里的1不是1,只是表示一个常数; 

     如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

 

O(n2) 

2.1. 交换i和j的内容 

sum=0; (一次) 

for(i=1;i<=n;i++) (n次 ) 

for(j=1;j<=n;j++) (n2次 ) 

sum++; (n2次 ) 

解:T(n)=2*n2+n+1 =O(n2)

 

2.2. 

for (i=1;i<n;i++)(n-1次) 

{ 

y=y+1; //1 

for (j=0;j<=(2*n);j++)(2*n+1次) 

x++; //2 

} 

解: 语句1的频度是n-1 

      语句2的频度是(n-1)*(2*n+1)=2*n2-n-1 

      f(n)=2*n2-n-1+(n-1)=2*n2-2 

      该程序的时间复杂度T(n)=O(n2).

  

O(n) 

2.3. 

a=0; 

b=1;                              //1 

for (i=1;i<=n;i++)      //2 

{ 

s=a+b;            //3 

b=a;             //4 

a=s;             //5 

}

 

解: 语句1的频度:2, 

      语句2的频度: n, 

      语句3的频度: n-1, 

      语句4的频度:n-1, 

      语句5的频度:n-1, 

      T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

 

O(log2n ) 

2.4. 

i=1;          //1 

while (i<=n) 

i=i*2;      //2 

解: 语句1的频度是1, 

      设语句2的频度是f(n), 则:2f(n)<=n;  f(n)<=log2n 

      取最大值f(n)= log2n, 

      T(n)=O(log2n )

 

O(n3) 

2.5. 

for(i=0;i<n;i++) 

{ 

  for(j=0;j<i;j++) 

  { 

     for(k=0;k<j;k++) 

          x=x+2; 

  } 

} 

解: 当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次 ,所以i从0取到n, 则循环共进行了: 

       0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n3). 

    我们还应该区分 算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是 O(n2),但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值,我们有可能把平方情况 (即O(n2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。

 

下面是一些常用的记法: 

    访问数组中的元素是常数时间操作,或说O(1)操作。一个算法 如 果能在每个步骤去掉一半数据元素,如二分检索,通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n3),因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起,所有元素的个数是n2 

    指数时间算法通常来源于需要 求出所有可能结果。例如,n个元素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了,除非n的值非常小,因为,在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是,确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” ),到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况,通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

 

技巧1: 

For(i=1; i<n; i*=2) 

{ 

} 

那么这个程序片段的时间复杂度就是:O(log2n);

  

posted on 2015-04-02 12:11  坦然玲子  阅读(2407)  评论(0编辑  收藏