群论作业2-0604

题目:

1.推导绕一个任意轴转动一个角度的算符表达式
2.验证绕z轴转动下，\(PY_{lm}=\Sigma D Y_{lm}\)的表示矩阵D
3.求SU(2)群的独立实参数的个数

答：

1.群论及其在凝聚态物理中的应用-李新征-P196.
使用欧拉角
2.

\[PY_{lm}=\Sigma D Y_{lm}\\ P=e^{-i\theta \widehat{L}_z}\\ \widehat{L}_z Y_{lm}=mY_{lm}\\ PY_{lm}=e^{-i\theta\widehat{L}_z}Y_{lm}=e^{-i\theta m}Y_{lm}\\ \]

So,when\(\overrightarrow{w}=(0,0,1)\)
representation matrix of P is

\[\begin{pmatrix} e^{-i l \theta} & & & &\\ & e^{-i (l-1) \theta}& & &\\ & & ... & &\\ & & & e^{i l \theta} & \end{pmatrix} \]

3.群论及其在凝聚态物理中的应用-李新征-P198.
设

\[u= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} \]

由酉矩阵条件

\[u^{\dotplus}u=uu^{\dotplus}=1 \]

和\(det(u)=1\)
可得

\[\begin{cases} aa^*+bb^*=1\,\#1\\ cc^*+dd^*=1\,\#2\\ ac^*+bd^*=0\,\#3\\ \end{cases} \]

and

\[ad-bc=1 \tag{4} \]

with #3 in eq.(4)

\[d=-\frac{a^*c}{b^*}\\ ad-bc=-a\frac{a^*c}{b^*}-bc=-\frac{c}{b^*}=1\\ c=-b^*\\ d=-a^*\\ \]

So

\[u= \begin{bmatrix} a & b\\ -b^* & a^*\\ \end{bmatrix} \]

and

\[aa^*+bb^*=1 \]

4 parameters and 1 formula, so there is only 3 free parameters.
/来回切输入法太麻烦了所以用了英文.