定义
下降幂就是形如 \(n^{\underline m}\) 的式子，表示
\[n^{\underline m} =\prod_{i=n-m+1}^n i=\frac{n!}{(n-m)!}
\]
同理还有一个上升幂：
\[n^{\overline m}=\prod_{i=n}^{n+m-1} i=\frac{(n+m-1)!}{(n-1)!}
\]
注意这个地方 \(n,m\) 都可能是负数，也就是 \(n^{\underline {-m}}=n^{\overline m}\)
作用
有个简单的性质：
\[n^{\underline{a+b}}=n^{\underline a}(n-a)^{\underline b}\\
n^{\overline{a+b}}=n^{\overline a}(n+a)^{\overline b}
\]
还有上升下降之间的转化：
\[n^{\underline m}=(-1)^m (-n)^{\overline m}\\
n^{\underline m}=(n-m+1)^{\overline m}
\]
下降幂可以解决很多与组合数有关的式子。
首先有个简单的，把组合数表示成下降幂形式。
\[\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n^{\underline m}}{m!}
\]
这个可以把组合数扩展到实数域，也就是：
\[\binom{r}{n}=\frac{r^{\underline n}}{n!}
\]
此处 \(r\) 是任意实数。
然后也满足二项式定理：
\[(x+y)^r=\sum_{i=0} \binom{r}{i}x^iy^{r-i}
\]
上指标反转：
\[\binom{n}{m}=\frac{n^{\underline m}}{m!}=\frac{(-1)^m(-n)^{\overline m}}{m!}=(-1)^m\frac{(m-n-1)^{\underline m}}{m!}=(-1)^m \binom{m-n-1}{m}
\]
还有下降幂与组合数相乘：
\[\binom{n}{k} k^{\underline i}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{k!}{(k-i)!}=\frac{(n-i)!}{(n-k)!(k-i)!}\frac{n!}{(n-i)!}\\=\binom{n-i}{k-i}n^{\underline i}
\]
然后有一个很牛的，叫做取一半：
求
\[F(x)=\sum_{n=0} \binom{2n}{n}x^n
\]
的封闭形式。
一个神秘的构造是：
\[x^{\underline k}(x-\frac{1}{2})^{\underline k}=\frac{(2x)^{\underline {2k}}}{2^{2k}}
\]
证明比较简单，就是前面展开后每项乘 \(2\) 即可。
\[\binom{2n}{n}=\frac{2n^{\underline {2n}}}{(n!)^2}=\frac{n^{\underline n}(n-\frac{1}{2})^{\underline n}4^n}{(n!)^2}=\frac{(n-\frac{1}{2})^{\underline n}4^n}{n!}=4^n\binom{n-\frac{1}{2}}{n}
\]
此时把右边的组合数上指标翻转一下：
\[4^n\binom{n-\frac{1}{2}}{n}=(-4)^n \binom{-\frac{1}{2}}{n}\\
F(x)=(-4x)^n \binom{-\frac{1}{2}}{n}=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}
\]
最后一步是一个简单的二项式定理。
还有一个关于下降幂的二项式定理：
\[(x+y)^{\underline n}=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}x^{\underline i}y^{\underline {n-i}}\\
(x+y)^{\overline n}=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}x^{\overline i}y^{\overline {n-i}}
\]
证明比较简单，直接考虑证明第一个，第二个也差不多：
\[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}x^{\underline i}y^{\underline {n-i}}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}x^{\underline i}y^{\underline {n-i}}=n!\sum_{i=0}^n \binom{x}{i} \binom{y}{n-i}
\]
考虑后面的组合意义，就是一个范德蒙德卷积，在 \(x+y\) 个球中选 \(n\) 个然后排成一排，当然就和左边的一样了。
\[n!\sum_{i=0}^n \binom{x}{i} \binom{y}{n-i}=n!\binom{x+y}{n}=(x+y)^{\underline n}
\]
有限微积分
以下内容参考《具体数学》。
在微积分中，我们引入了个算子 \(D\) 的概念，它表示一个无穷小量上的斜率。
\[Df(x)=\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
定义另一个算子 \(\Delta\) 表示在 \(h=1\) 时上面的斜率，也就是：
\[\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)
\]
注意这里的算子只能作用在一个函数上，用来表示一个变换后的函数。
这个 \(\Delta\) 本质就是差分。
在 \(D\) 算子下，最基本的函数是
\[Dx^m=mx^{m-1}
\]
但是在 \(\Delta\) 下，\(\Delta x^m=(x+1)^m-x^m\)，没什么可化简的。
考虑把下降幂带进去。
\[\Delta x^{\underline m}=(x+1)^{\underline m}-x^{\underline m}\\
= mx^{\underline{m-1}}
\]
和上面形式一样，非常神奇。
无限微积分上定义积分：
\[g(x)=Df(x) \Longleftrightarrow \int g(x)dx = f(x)+C
\]
类似的，我们定义：
\[g(x)=\Delta f(x)\Longleftrightarrow \sum g(x)\delta x=f(x)+C
\]
注意此处的 \(C\) 只需要满足 \(p(x+1)=p(x)\) 的任意 \(p\) 即可。
类似定义定积分：
\[\int_{a}^b g(x)dx=f(x)|^{b}_{a}=f(b)-f(a)\\
\sum_{a}^b g(x)\delta x=f(x)|^{b}_a=f(b)-f(a)=\sum_{a}^{b-1}g(x)
\]
通过对 \(x^{\underline m}\) 进行一个积分，可以得到：
\[\sum_{i=0}^{n-1} i^{\underline m}=\frac{i^{\underline{m+1}}}{m+1}|^{n}_0=\frac{n^{\underline{m+1}}}{m+1}
\]
但是注意到当 \(m=-1\) 时，这个东西不能这样积分。
把 \(m=1\) 时大力展开，可以得到积分的结果
\[f(x)=\sum_{i=1}^x \frac{1}{i}
\]
这是调和级数，对应无限微积分中的 \(\ln\)。
考虑无限微积分中的 \(De^x=e^x\)，找到一个类似的产物，可以得到 \(\Delta 2^x=2^x\)。
然后考虑简单的运算，乘法。
\[\Delta(f(x)g(x))=f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x)-f(x+1)g(x)+f(x+1)g(x)\\
= f(x+1)\Delta g(x)+g(x)\Delta f(x)
\]
定义位移算子 \(E(f(x))=f(x+1)\)，得到：
\[\Delta (fg)=Ef\Delta g+g\Delta f
\]
然后我们去考虑一个 \(\Delta_k f(x)=f(x+k)-f(x)\)，我们去寻找一个类似 \(e^x\) 的东西：
\[\frac{a^{x+k}-a^x}{k}=a^x\\
a^k-1=k\\
a=\sqrt[k]{k+1}
\]
在 $\lim_{k\to 0} $ 时，可以得到
\[e=\lim_{k\to 0} (k+1)^{\frac{1}{k}}
\]
令 \(n=\frac{1}{k}\)。
\[e=\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n
\]
