Eigen教程(2)
整理下Eigen库的教程，参考：http://eigen.tuxfamily.org/dox/index.html
Matrix类
在Eigen，所有的矩阵和向量都是Matrix模板类的对象，Vector只是一种特殊的矩阵（一行或者一列）。
Matrix有6个模板参数，主要使用前三个参数，剩下的有默认值。
Matrix<typename Scalar, int RowsAtCompileTime, int ColsAtCompileTime>
Scalar是表示元素的类型，RowsAtCompileTime为矩阵的行，ColsAtCompileTime为矩阵的列。
库中提供了一些类型便于使用，比如：
typedef Matrix<float, 4, 4> Matrix4f;
Vectors向量
列向量
typedef Matrix<float, 3, 1> Vector3f;
行向量
typedef Matrix<int, 1, 2> RowVector2i;
Dynamic
Eigen不只限于已知大小（编译阶段）的矩阵，有些矩阵的尺寸是运行时确定的，于是引入了一个特殊的标识符：Dynamic
typedef Matrix<double, Dynamic, Dynamic> MatrixXd;
typedef Matrix<int, Dynamic, 1> VectorXi;
Matrix<float, 3, Dynamic>
构造函数
默认的构造函数不执行任何空间分配，也不初始化矩阵的元素。
Matrix3f a;
MatrixXf b;
这里，a是一个3*3的矩阵，分配了float[9]的空间，但未初始化内部元素；b是一个动态大小的矩阵，定义是未分配空间(0*0)。
指定大小的矩阵，只是分配相应大小的空间，未初始化元素。
MatrixXf a(10,15);
VectorXf b(30);
这里，a是一个10*15的动态大小的矩阵，分配了空间但未初始化元素；b是一个30大小的向量，同样分配空间未初始化元素。
为了对固定大小和动态大小的矩阵提供统一的API，对指定大小的Matrix传递sizes也是合法的（传递也被忽略）。
Matrix3f a(3,3);
可以用构造函数提供4以内尺寸的vector的初始化。
Vector2d a(5.0, 6.0);
Vector3d b(5.0, 6.0, 7.0);
Vector4d c(5.0, 6.0, 7.0, 8.0);
获取元素
通过中括号获取元素，对于矩阵是：（行，列）；对于向量，只是传递它的索引，以0为起始。
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
int main()
{
MatrixXd m(2,2);
m(0,0) = 3;
m(1,0) = 2.5;
m(0,1) = -1;
m(1,1) = m(1,0) + m(0,1);
std::cout << "Here is the matrix m:\n" << m << std::endl;
VectorXd v(2);
v(0) = 4;
v(1) = v(0) - 1;
std::cout << "Here is the vector v:\n" << v << std::endl;
}
输出
Here is the matrix m:
3 -1
2.5 1.5
Here is the vector v:
4
3
m(index)也可以用于获取矩阵元素，但取决于matrix的存储顺序，默认是按列存储的，当然也可以改为按行。
[]操作符可以用于向量元素的获取，但是不能用于matrix，因为C++中[]不能传递超过一个参数。
逗号初始化
Matrix3f m;
m << 1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9;
std::cout << m;
resizing
matrix的大小可以通过rows()、cols()、size()获取，resize()可以重新调整动态matrix的大小。
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
int main()
{
MatrixXd m(2,5);
m.resize(4,3);
std::cout << "The matrix m is of size "
<< m.rows() << "x" << m.cols() << std::endl;
std::cout << "It has " << m.size() << " coefficients" << std::endl;
VectorXd v(2);
v.resize(5);
std::cout << "The vector v is of size " << v.size() << std::endl;
std::cout << "As a matrix, v is of size "
<< v.rows() << "x" << v.cols() << std::endl;
}
输出：
The matrix m is of size 4x3
It has 12 coefficients
The vector v is of size 5
As a matrix, v is of size 5x1
如果matrix的实际大小不改变，resize函数不做任何操作。resize操作会执行析构函数：元素的值会被改变，如果不想改变执行 conservativeResize()。
为了统一API，所有的操作可用于指定大小的matrix，当然，实际中它不会改变大小。尝试去改变一个固定大小的matrix到一个不同的值，会出发警告失败。只有如下是合法的。
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
int main()
{
Matrix4d m;
m.resize(4,4); // no operation
std::cout << "The matrix m is of size "
<< m.rows() << "x" << m.cols() << std::endl;
}
assignment 和 resizing
assignment（分配）是复制一个矩阵到另外一个，操作符=。Eigen会自动resize左变量大小等于右变量大小，比如：
MatrixXf a(2,2);
std::cout << "a is of size " << a.rows() << "x" << a.cols() << std::endl;
MatrixXf b(3,3);
a = b;
std::cout << "a is now of size " << a.rows() << "x" << a.cols() << std::endl;
a is of size 2x2
a is now of size 3x3
当然，如果左边量是固定大小的，上面的resizing是不允许的。
固定尺寸 vs 动态尺寸
实际中，应该使用固定尺寸还是动态尺寸，简单的答案是：小的尺寸用固定的，大的尺寸用动态的。使用固定尺寸可以避免动态内存的开辟，固定尺寸只是一个普通数组。
Matrix4f mymatrix; 等价于 float mymatrix[16];
MatrixXf mymatrix(rows,columns); 等价于 float *mymatrix = new float[rows*columns];
使用固定尺寸(<=4*4)需要编译前知道矩阵大小，而且对于足够大的尺寸，如大于32，固定尺寸的收益可以忽略不计，而且可能导致栈崩溃。而且基于环境，Eigen会对动态尺寸做优化（类似于std::vector）
其他模板参数
上面只讨论了前三个参数，完整的模板参数如下：
Matrix<typename Scalar,
int RowsAtCompileTime,
int ColsAtCompileTime,
int Options = 0,
int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime,
int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime>
Options是一个比特标志位，这里，我们只介绍一种RowMajor，它表明matrix使用按行存储，默认是按列存储。Matrix<float, 3, 3, RowMajor>
MaxRowsAtCompileTime和MaxColsAtCompileTime表示在编译阶段矩阵的上限。主要是避免动态内存分配，使用数组。
Matrix<float, Dynamic, Dynamic, 0, 3, 4> 等价于 float [12]
一些方便的定义
Eigen定义了一些类型
- MatrixNt = Matrix<type, N, N> 特殊地有 MatrxXi = Matrix<int, Dynamic, Dynamic>
- VectorNt = Matrix<type, N, 1> 比如 Vector2f = Matrix<float, 2, 1>
- RowVectorNt = Matrix<type, 1, N> 比如 RowVector3d = Matrix<double, 1, 3>
N可以是2,3,4或X(Dynamic)
t可以是i(int)、f(float)、d(double)、cf(complex)、cd(complex)等。
