《编程之美》2.2 不要被阶乘吓倒

题目：

1. 给定一个整数N，nameN的阶乘N！结尾有多少个0呢？

2.求N！的二进制表示中最低位1的位置

 

#include <iostream>


// 遍历1~N，找到每一个5的倍数包含5这个因数的个数
// 比如 N=34，我们会找到
//      1. 数字5包含1个因数5（5=1*5）， 
//      2. 数字10包含1个因数5（10=2*5）
//      3. 数字15包含1个因数5（15=3*5）， 
//      4. 数字20包含1个因数5（20=4*5）， 
//      5. 数字25包含2个因数5（25=5*5）， 
//      5. 数字30包含1个因数5（30=2*3*5）， 
//      一共找到1+1+1+1+2+1=7个5
int count0_way1( int N ) 
{
    int count = 0; 
    for ( int i = 1; i <= N; i++ ) {
        int j = i; 
        while ( j % 5 == 0 ) {
            count++; 
            j /= 5; 
        }
    }
    return count; 
}

// 我们也可以直接在1~N中找到包含因数5的数的个数，
// 比如 N=34的数字中，
//      1. 包含1个因数5的数字有5，10，15，20，25，30，共6个（即34/5的结果)
//      2. 包含2个因数5的数字(即25)有25, 共1个，即34/25的结果，
//      3. 包含3个因数5的数字(即125)有0个，即34/125的结果，
//      4. .....
//      一共找到34/5 + 34/25 = 6+1=7 个
int count0_way2( int N )
{
    int count = 0; 
    while ( N ) {
        count += N / 5; 
        N = N / 5; 
    }
    return count; 
}


// 求N!结果中最低位置1的位置，等同于求N!的2的质因数的个数
// 我们可以观察到，
//     1. 任何奇数的二进制表示中，最后一位都是1
//     2. 任意多个奇数相乘的结果依然是奇数，也就是说，奇数相乘，其结果的最后一位1总是在最低位上
//     3. 任意一个数，都可以分解为质因数相乘，在所有的质数中，只有2是偶数，其余的都是奇数
//     4. 一个数乘以2，相当于其二进制表示左移一位, 即最低位的1的位置向左移动一位
//     5. 因此，我们把算式 N! = N*(N-1)*(N-2)*(N-3)....*1 分解质因式，其所有的因子中，只会存在2和奇数（因为质数中只有2是偶数）
//        根据2，奇数的乘积还是奇数，只有因数2才会改变最低位1的位置，每乘一次2(也即出现一个因子2）就会使得1的位置左移一次
//     得到我们的结论：求N!结果中最低位置1的位置，等同于求N!的2的质因数的个数, 
//     求N！中质因数2的个数的方法可以参考Question1的方法2, 
int OnePosition_way1(int N ) 
{
    int count = 0; 
    while ( N ) {
        count += N / 2;
        N = N >> 1; 
    }
    return count + 1; 
}


int main( int argc, char** argv )
{
    // Question1: 求N!的结果中，结尾0的个数。 
    // 求一个乘法算式结果的结尾0的个数，等同于求乘法算式中因子10的个数，而10=2*5，且在自然数的因子中，因子2的个数大于因子5的个数，
    // 因此，求这个算式结果的结尾0的个数，等同于求这个算式中因子5的个数
    int N = 34; 
    std::cout << " count 0 in " << N << std::endl; 
    std::cout << " way1: " << count0_way1( N ) << std::endl; 
    std::cout << " way2: " << count0_way2( N ) << std::endl; 
    std::cout << " DONE " << std::endl; 


    // Question2： 求N!结果的二进制表示中，最低位1的位置，比如 N=3, N!=3*2*1=6=0b(110), 其结尾最低位1的位置是2.
    std::cout << " the positon of lowest 1 : in " << N << std::endl; 
    std::cout << " way1: " << OnePosition_way1( N ) << std::endl; 
    //std::cout << " way2: " << 1position_way2( N ) << std::endl; 
    std::cout << " DONE " << std::endl; 

    return 0; 
}