区间dp
Ø合并：意思就是将两个或多个部分进行整合，当然也可以反过来，也就是是将一个问题进行分解成两个或
多个部分。
Ø特征：能将问题分解成为两两合并的形式
Ø求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解成为左右两个部分，最后将左右两个部分的最优值
进行合并得到原问题的最优值。有点类似分治算法的解题思想。
Ø典型试题：整数划分，凸多边形划分、石子合并、多边形合并、能量项链等。
例题1：整数划分：
题目描述
如何把一个正整数N（N长度<20）划分为M（M>1）个部分，使这M个部分的乘积最大。N、M从键盘输入，输出最大值及一种划分方式。
输入格式
第一行一个正整数T(T<=10000)，表示有T组数据。
接下来T行每行两个正整数N，M。
输出格式
对于每组数据
第一行输出最大值。
第二行输出划分方案，将N按顺序分成M个数输出，两个数之间用空格格开。
样例
样例输入
1
199 2
样例输出
171
19 9
解:这题的dp部分事实上还是很好理解的，就是这个预处理稍微有点麻烦，不过还好数据范围够小，直接开一个二维数组就行，还有就是因为有多组数据，所以别忘了memset。看代码：
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[25];
long long a[25][25],dp[25][25];//20位会炸int，所以记得开long long,还有个事就是这题还有一个进阶版叫乘积最大，要用高精，所以为什么整理这道不用说了吧。
int vis[25][25];
//还是熟悉的递归输出
void p(int x,int y){
if(x==0)return;
p(vis[x][y],y-1);
for(int i=vis[x][y]+1;i<=x;i++){
cout<<s[i];
}
cout<<" ";
return;
}
int main(){
int T;
int m;
cin>>T;
while(T--){
scanf("%s %d",s+1,&m);//下标从1开始存，额--，习惯问题
int len=strlen(s+1);
//重新初始化
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(a,0,sizeof(a));
memset(dp,0,sizeof(dp));
//预处理a[i][j]表示第i位到第j位数的实际大小
for(int i=1;i<=len;i++){
long long ink=0;
for(int j=i;j<=len;j++){
ink=ink*10+s[j]-'0';
a[i][j]=ink;
}
}
dp[0][0]=1;
//dp[i][j]表示前i个数分成j组的最大乘积,下面就基本上是板子了
for(int i=1;i<=len;i++){
int w=min(i,m);
for(int j=1;j<=w;j++){
for(int k=1;k<=i;k++){
if(dp[i][j]<dp[k-1][j-1]*a[k][i]){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k-1][j-1]*a[k][i]);
vis[i][j]=k-1;
}
}
}
}
printf("%lld\n",dp[len][m]);
if(m==len){
for(int i=1;i<=m;i++){
cout<<s[i]<<' ';
}
}
else p(len,m);
cout<<endl;
}
return 0;
}
试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆最大得分.
输入格式
数据的第1行试正整数N,1≤N≤2000,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.
输出格式
输出共1行,最大得分
样例
样例输入
4
4 4 5 9
样例输出
54
解：这题怎么说吧，虽说是道板子，但是你注意它的范围2000，如果正常跑板子肯定会T，但如果说数据小一点的话，跑板子完全没有问题，数据小时代码如下（板子不多解释，还有环时存双链）：
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1111][1111],g[1111][1111],a[1111],s[1111],n;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
a[i+n]=a[i];
}
for(int i=1;i<=n*2;i++){
s[i]=s[i-1]+a[i];
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n*2;i++)f[i][i]=0;
for(int len=2;len<=n;len++){
for(int i=1;i+len-1<=n*2;i++){
int j=i+len-1;
for(int k=i;k<j;k++){
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);
g[i][j]=max(g[i][j],g[i][k]+g[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);
}
}
}
int ans1=11111111,ans2=0;
for(int i=1;i<=2*n;i++){
ans1=min(ans1,f[i][n+i-1]);
ans2=max(ans2,g[i][n+i-1]);
}
cout<<ans1<<endl<<ans2;
return 0;
}
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[5111][5111],a[5111],s[5111],n;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
a[i+n]=a[i];
}
for(int i=1;i<=n*2;i++){
s[i]=s[i-1]+a[i];
}
for(int i=1;i<=n*2;i++)f[i][i]=0;
for(int len=1;len<=n;len++){
for(int i=1;i+len<=n*2;i++){
int j=i+len;
f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i][j-1])+s[j]-s[i-1];
}
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=max(ans,f[i][n+i-1]);
}
cout<<ans;
return 0;
}
例3：图多边形的三角划分：
给定一具有N个顶点（从1到N编号）的凸多边形，每个顶点的权均已知。问如何把这个凸多边形划分成N-2个互不相交的三角形，使得这些三角形顶点的权的乘积之和最小？image
输入格式
第一行 顶点数N（N<50）。 第二行 N个顶点（从1到N）的权值，权值为小于32768的整数。
输出格式
第一行为各三角形顶点的权的乘积之和最小值。
样例
样例输入
5
121 122 123 245 231
样例输出
12214884
解：一眼看去事实上并没有什么思路，但想一下就会发现，这其实是一道区间dp，看代码：
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,c,d,n,m;
long long x[1111],f[211][211];
//f[i][j]表示已i-j为边的多边形的最小乘积之和
int main(){
cin>>n;
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x[i];
x[i+n]=x[i];
f[i][i]=f[i][i+1]=0;
}
for(int len=1;len<=n;len++){
for(int i=1;i+len<=n;i++){
int j=i+len;
for(int k=i+1;k<j;k++){
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]+x[i]*x[k]*x[j]);
}
}
}
cout<<f[1][n];
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号