【JZOJ1667】【BZOJ1801】【luoguP2051】中国象棋

description

在N行M列的棋盘上，放若干个炮可以是0个，使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮。请问有多少种放置方法？中国象棋中炮的行走方式大家应该很清楚吧.

---

analysis

• \(DP\)，容易知道每行至多有两个炮，否则会互相打到

• 设\(f[i][j][k]\)表示到放到第\(i\)行，有\(j\)列放了一个炮，\(k\)列放了两个炮的方案数

• 该行不放炮，则直接继承上一行的答案

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j][k] \]

• 一个炮放在没有炮的列上，一个炮的列数\(+1\)，且有\(m-k-(j-1)\)个没有炮的列可以放

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*[m-k-(j-1)] \]

• 一个炮放在一个炮的列上，一个炮的列数\(-1\)，两个炮的列数\(+1\)，且有\(j+1\)个一个炮的列可以放

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1) \]

• 一个炮放在一个炮的列上，一个炮放在没有炮的列上，两个炮的列数\(+1\)，且分别有\(j\)列、\(m-(k-1)-j\)列可以放

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*[m-(k-1)-j] \]

• 两个炮放在没有炮的列上，一个炮的列数\(+2\)，且有\(C^{2}_{m-(j-2)-k}\)种方案

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C^{2}_{m-(j-2)-k} \]

• 两个炮放在一个炮的列上，一个炮的列数\(-2\)，两个炮的列数\(+2\)，且有\(C^{2}_{j+2}\)种方案

\[f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C^{2}_{j+2} \]

• 如此转移即可，注意判断边界

---

code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 105
#define ha 9999973
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll f[MAXN][MAXN][MAXN];
ll c[MAXN][MAXN];
ll n,m,ans;

inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline ll C(ll n){return n*(n-1)/2;}
int main()
{
	n=read(),m=read(),f[0][0][0]=1;
	fo(i,1,n)
	{
		fo(j,0,m)
		{
			fo(k,0,m-j)
			{
				f[i][j][k]=f[i-1][j][k];//不填
				if (k-1>=0)
					(f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)%ha)%=ha;//一颗填一个炮的列
				if (j-1>=0)			
					(f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-(j-1)-k))%=ha;//一颗填没有炮的列
				if (k-1>=0)
					(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j%ha*(m-j-(k-1)))%=ha;//一颗填一个炮的列,一颗填没有炮的列
				if (j-2>=0)
					(f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-(j-2)-k))%=ha;//两颗填没有炮的列
				if (k-2>=0)
					(f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%=ha;//两颗填一个炮的列
			}
		}
	}
	fo(i,0,m)fo(j,0,m-i)(ans+=f[n][i][j])%=ha;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}