部分背包与01背包问题

在算法的学习中，背包问题是一类经典的课题，其中，部分背包问题和01背包问题是两种最基础的形式。

如果你想深入探索背包问题的所有变体，强烈推荐搜索“背包九讲”。

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一、部分背包问题

问题描述：假设我们有 n 件物品和一个容量为 V 的背包。每件物品 i 有其价值 v[i] 和重量 w[i]。

在部分背包问题中，我们可以选择物品的一部分放入背包（例如，金砂可以按克取；即：单样物品可以重复拿）。

我们的目标是，如何选择物品，使得装入背包的物品总价值最大？

核心思想：贪心算法。因为这个问题不存在所谓的局部最优/全局最优，只要有限拿最有价值的即可，算是

贪心算法的Hello World。

 

贪心策略步骤：

1. 计算所有物品的单位价值：v[i] / w[i]

2. 将物品按单位价值从高到低排序。

3. 初始化当前背包剩余容量 left = V 和总价值 total_value = 0。

4. 遍历排序后的物品列表：

   • 如果当前物品的重量 w[i] <= left，说明背包还能装下整个物品，那么就把它全部装入。total_value += v[i]，同时 left -= w[i]。

   • 否则，只能装入物品的一部分。装入 left 重量的该物品，total_value += (v[i] / w[i]) * left，然后背包已满，循环结束。

 

伪代码实现：

function fractional_knapsack(v, w, V):
    n = length(v)
    items = [] // 创建一个列表，存储物品索引、价值和重量
    for i from 0 to n-1:
        ratio = v[i] / w[i]
        items.append((ratio, v[i], w[i], i)) // 将单位价值、价值、重量、索引打包

    sort items in descending order by ratio // 按单位价值降序排序

    total_value = 0
    left_capacity = V

    for each item in items:
        if left_capacity >= item.w: 
            // 可以拿全部
            total_value += item.v
            left_capacity -= item.w
        else:
            // 只能拿一部分
            total_value += item.ratio * left_capacity
            break // 背包已满，退出循环

    return total_value

二、01背包问题：动态规划的入门

问题描述：场景与部分背包类似，但关键的区别在于，对于每件物品，我们要么完整地放入背包（选择1），要么完全不放入（选择0），不能只取一部分。这就是“01”的由来。

（即每样物品不能重复放入）

这个问题无法再用简单的贪心算法解决。这个问题主要演示动态规划的使用。

 

什么是动态规划？

动态规划是一种通过把复杂问题分解为相对简单的子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而高效解决问题的方法。

（即缓存之前步骤的结果，重复使用）

我们只要定义好状态转移逻辑，即类似：dp[current]=dp[current-1]+dp[current-2] 这样的规则，

然后在代码里应用规则即可。

可以想象为一张二维表，每步每个选择的结果都出现在表中

如需更详尽了解可网络上搜索一些教程。

 

注意：

01背包问题使用动态规划解决，因需要确保动态规划代码的简洁，0下标元素留空，步骤1从1下标的元素开始。

 

伪代码实现：

function zero_one_knapsack(v, w, V):
    n = length(v)
    // 初始化一个 (n+1) x (V+1) 的二维数组dp，所有元素初始为0
    dp = array[0..n][0..V] of 0

    for i from 1 to n:        // i 从1开始，对应第i件物品（索引为i-1）
        for j from 0 to V:    // j 是当前背包容量
            if j < w[i-1]: 
                // 当前背包容量j小于物品i的重量，装不下
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                // 装得下，在“不装”和“装”之间选择价值更大的方案
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i-1]] + v[i-1])

    return dp[n][V] // 考虑前n件物品，容量为V时的最大价值