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Blog主现高一，文化课和OI啥都不会
本Blog主太懒，所以很多内容都缩在一个文章里，如数学、图论大礼包
https://wenku.baidu.com/view/56d76029647d27284b735158.html
Ideas
- 看一个结论： \(n=0,n=1\)的时候显然成立
\(n\geq2\)时，假设\(n-1,n-2\)都成立，则：\(\sum_{i=k}^n\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\sum_{i=k}^{n-1}\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\tbinom{n}{k+1}=\tbinom{n+1}{k+1}\)
update：底下评论里的AH队长why执政 指正要把n=k提出来
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\(O(\sum_{d|n} d^{0.5})=O(n ^{0.5 + \epsilon})<O(n^{0.75})\)
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\(x | \frac{n}{y} \Longleftrightarrow y | \frac{n}{x}\)，证明显然，然而没想到用
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\(\gcd(a^m - b^m, a^n - b^n)=a^{\gcd(m, n)} - b^{\gcd(m, n)},\gcd(a,b)=1\)
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一个重复2次的子串长度2L，一定包含s[1], s[1 + L], s[1 + 2*L],...,中的某相邻两项
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儿子的值对父亲有贡献，考虑树剖
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线段树归并建树可以处理出对于每个x，左右儿子最大的<=x的树的多少，这样可以询问时可以O(1)转移，是二维数点常用技巧
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对于LIS可以考虑差分前缀maxf数组，或是记录二分LIS的单调栈（状压技巧）
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对于排列问题一种考虑方式是从1i推到1i+1
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区间dp的种种套路：比如断成2个区间考虑，比如考虑去掉最后一个点（或块）
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一种线段树求全局答案的方法：结点只保存完全在区间内的操作，其他操作在祖先处考虑（如扫描线区间覆盖）
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s个[0,mod]的随机变量max的期望是mod/(s+1)*s
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\(a-b \leq a \text{ xor } b\)
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若\(a>b,\gcd(a, b)\leq a - b\)
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二维曼哈顿距离最小生成树：考虑一个45度区域里只有一个最近需要连边。树状数组优化即可。
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在01trie上解决一类问题：每次把当前集合划分成第k位是0和1的两个集合，递归到k-1位去做再考虑合并（叫二进制分组？）
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一个二维问题无法下手，考虑行列分开，可能行列是独立的。
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设\(m\)为最大数，\(c\)为不同数字个数；一种\(O(n + mc)\)求严格LIS：\(f(i, j)\)表示前\(i\)个数以数字\(j\)结尾的LIS，然后这个可以把第一维滚掉。每次\(f(a[i])\)去刷\(f(a[i]+1)\)到\(f(m)\)的值，遇到\(\geq f(a[i])\)就停。冷静分析一下复杂度很对：\(f\)一共就\(c\)种取值，每种取值最坏把\(m\)个位置都覆盖一遍。
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求若干个有序数组，每个数组选一个数然后加起来，求\(Kth\)：两两合并。合并\(A,B\)，先将\((a[1], b[i])\)入大根堆，每次取出(a[i], b[j])的时候再把\((a[i + 1], b[j])\)丢进去。
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计数dp时，考虑整体的加减和加入最小数；规定一个顺序（从小到大）最后乘一下阶乘。
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点分治：单调队列按秩合并以优化复杂度
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模意义下无法开根号？扩域试试！
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据说\(Z=(a+bi)^n\)，\(Z\)的共轭复数的\(n\)次方=\(Z\)的\(n\)次方的共轭复数
证明：用\(Z'=a-bi\)表示\(Z=a+bi\)的共轭复数
先证一个结论：\(A’B‘=(AB)'\)。使用定义即可。
然后归纳，\(n=1\)显然成立
假设\(n=k\)成立，即\((Z^k)'=(Z')^k\)
两边乘以\(Z'\)：\((Z^k)'Z'=(Z')^{k+1}\)
再用一下上面的结论：\((Z^{k+1})'=(Z')^{k+1}\)
Q.E.D
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\([i \bmod 2 = 0]=\frac{(-1)^i+1^i}{2}\)
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无向图连通图简单环个数\(2^{m-n}\)。简单环可以表示成任意基环xor（基环值任意生成树，非树边与树上路径形成的环）。基环可以用dfs在\(O(n+m)\)时间里找到。
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\(\lfloor \frac{a}{c} \rfloor +\lfloor \frac{b}{c} \rfloor \leq \lfloor \frac{a + b}{c} \rfloor\)
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\(\prod (a_i !) \mid (\sum a_i)!\)
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max树上差分用左偏树即可。或者反向倍增。
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树形dp中u选fa必选可以考虑按dfs序dp
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拓扑标记：n到1分配，找出度为0最大点
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听说随机点集凸包上点个数的期望是\(O(\sqrt n)\)的
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排列问题有时候可以用预支付思想。
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一个语法小trick：
struct cmp {
bool operator () (const Node &a, const Node &b) const {
return a.d < b.d;
}
};
priority_queue<Node, vector<Node>, cmp> pq;
//用cmp排序，每次取最后一个
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\(d(n)=O(n^{\frac{1.066}{\ln \ln n}})\)，int和ll以内约数个数最大分别为\(10^3\)和\(10^5\)级别
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二维的某些问题考虑标号以2n为基（因为坐标差在-(n-1) 到 (n-1)之间），方便使用卷积。
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带删除堆：两个priority_queue即可实现
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若给定多边形不知顺逆顺序，通过符号是否相反来判断凹凸，及点在多边形内外。另外求点到线段距离西先求夹角大小。
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令\(n = \prod_{i = 1}^k p_i ^ {c_i}\)，\(f(n) = \max(c_i), g=f*\mu\)
若存在\(c_i \not = c_j\)，则\(g(n) = 0\)。
否则\(𝑔(𝑛)=(−1)^{𝑘+1}\)
Queries
Q1
一个常见的方程\(ax+by=c\)，现在扩欧求出特解\(x_0,y_0\)，然后\(x=x_0-\frac{b}{(a, b)}t, y=y_0+\frac{a}{(a, b)}t\)
现在想找到一组解，在满足\(|x|+|y|\)是奇数的情况下，\(|x| + |y|\)尽可能小
题解做法是枚举所有满足\(| t | \leq 1 + \frac{c}{(a, b)}\)的\(t\)。不知道为啥只要在这个范围里枚举。
