【刷题】BZOJ 1023 [SHOI2008]cactus仙人掌图
Description
如果某个无向连通图的任意一条边至多只出现在一条简单回路（simple cycle）里，我们就称这张图为仙人掌图（cactus）。所谓简单回路就是指在图上不重复经过任何一个顶点的回路。
举例来说，上面的第一个例子是一张仙人图，而第二个不是——注意到它有三条简单回路：（4，3，2，1，6 ，5，4）、（7，8，9，10，2，3，7）以及（4，3，7，8，9，10，2，1，6，5，4），而（2，3）同时出现在前两个的简单回路里。另外，第三张图也不是仙人图，因为它并不是连通图。显然，仙人图上的每条边，或者是这张仙人图的桥（bridge），或者在且仅在一个简单回路里，两者必居其一。定义在图上两点之间的距离为这两点之间最短路径的距离。定义一个图的直径为这张图相距最远的两个点的距离。现在我们假定仙人图的每条边的权值都是1，你的任务是求出给定的仙人图的直径。
Input
输入的第一行包括两个整数n和m（1≤n≤50000以及0≤m≤10000）。其中n代表顶点个数，我们约定图中的顶点将从1到n编号。接下来一共有m行。代表m条路径。每行的开始有一个整数k（2≤k≤1000），代表在这条路径上的顶点个数。接下来是k个1到n之间的整数，分别对应了一个顶点，相邻的顶点表示存在一条连接这两个顶点的边。一条路径上可能通过一个顶点好几次，比如对于第一个样例，第一条路径从3经过8，又从8返回到了3，但是我们保证所有的边都会出现在某条路径上，而且不会重复出现在两条路径上，或者在一条路径上出现两次。
Output
只需输出一个数，这个数表示仙人图的直径长度。
Sample Input
15 3
9 1 2 3 4 5 6 7 8 3
7 2 9 10 11 12 13 10
5 2 14 9 15 10
10 1
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sample Output
8
9
HINT
对第一个样例的说明：如图，6号点和12号点的最短路径长度为8，所以这张图的直径为8。
【注意】使用Pascal语言的选手请注意：你的程序在处理大数据的时候可能会出现栈溢出。
如果需要调整栈空间的大小，可以在程序的开头填加一句：{$M 5000000}，其中5000000即指代栈空间的大小，请根据自己的程序选择适当的数值。
Solution
仙人掌的题目大多都是把树和环拆开来做
假设这个图是个树，那么就很简单，直接dp，设 \(f_u\) 代表节点 \(u\) 的子树中的一段在 \(u\) 的最长链，\(f_u=\max\{f_v+1\}\) ，转移的同时也用 \(f_u+f_v+1\) 更新答案
对于环，环上的每个点开始时记录的肯定是它们的外向树的最长链，那么环上两个点的贡献就是它们的外向树中的最长链加上这两个点在环上的短侧的距离。所以我们就可以在环上跑一遍dp，更新答案，同时再把 \(root\) 的答案更新就好了。对于环上的dp，我们可以用个单调队列，队列里只存在当前枚举点之前的距离小于等于环的一半的点，这样保证了环上两点的距离一定是短侧，那么更新答案的式子就是 \(f_{a[i]}+f_{a[j]}+i-j+1\) ，因为我们对于每个位置都要最大，那么我们就是要可以改变的 \(f_{a[j]}-j\) 最大，所以用单调队列维护。因为是个环，所以还要把环上的点复制一遍。
#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=50000+10,MAXM=10000000+10;
int n,m,ans,e,beg[MAXN],nex[MAXM<<1],to[MAXM<<1],DFN[MAXN],LOW[MAXN],a[MAXN<<1],cnt,Visit_Num,f[MAXN],fa[MAXN];
std::deque<int> q;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
T data=0,w=1;
char ch=0;
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+'0');
if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void insert(int x,int y)
{
to[++e]=y;
nex[e]=beg[x];
beg[x]=e;
}
inline void loop(int root,int x)
{
while(!q.empty())q.pop_front();
a[cnt=1]=x;
for(register int i=x;i!=root;i=fa[i])a[++cnt]=fa[i];
for(register int i=1;i<=cnt;++i)a[i+cnt]=a[i];
for(register int i=1;i<=(cnt<<1);++i)
{
while(!q.empty()&&i-q.front()>(cnt>>1))q.pop_front();
if(!q.empty())chkmax(ans,f[a[i]]+f[a[q.front()]]+i-q.front());
while(!q.empty()&&f[a[i]]-i>f[a[q.back()]]-q.back())q.pop_back();
q.push_back(i);
}
for(register int i=1;i<cnt;++i)chkmax(f[root],f[a[i]]+min(cnt-i,i));
}
inline void Tarjan(int x,int p)
{
DFN[x]=LOW[x]=++Visit_Num;fa[x]=p;
for(register int i=beg[x];i;i=nex[i])
if(to[i]==p)continue;
else
{
if(!DFN[to[i]])Tarjan(to[i],x),chkmin(LOW[x],LOW[to[i]]);
else if(DFN[to[i]]<DFN[x])chkmin(LOW[x],DFN[to[i]]);
if(LOW[to[i]]>DFN[x])chkmax(ans,f[x]+f[to[i]]+1),chkmax(f[x],f[to[i]]+1);
}
for(register int i=beg[x];i;i=nex[i])
if(to[i]==p)continue;
else if(fa[to[i]]!=x&&DFN[to[i]]>DFN[x]&&LOW[to[i]]<=DFN[x])loop(x,to[i]);
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
ans=0;e=0;
for(register int i=1;i<=n;++i)beg[i]=f[i]=DFN[i]=LOW[i]=0;
for(register int i=1;i<=m;++i)
{
int k,u;read(k);read(u);
for(register int j=2,v;j<=k;++j,u=v)read(v),insert(u,v),insert(v,u);
}
for(register int i=1;i<=n;++i)
if(!DFN[i])Tarjan(i,0);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
