云心出岫——Splay Tree

(多图预警!!!建议在WiFi下观看)

之前我们谈论过AVL树,这是一种典型适度平衡的二叉搜索树,成立条件是保持平衡因子在[-1,1]的范围内,这个条件已经是针对理想平衡做出的一个妥协了,但依然显得过于苛刻,因为在很多时候我们需要频繁的做重平衡操作,能不能改进一下,让失衡先积累着,然后等到某个时机,一下子全部解决呢?严谨一点来说就是我们能否秉持一种更为宽松的准则,同时又从长远、整体的角度来看,依然不失某种意义上的平衡性呢?如果比作人的话,AVL树就犹如那种处处谨慎的性格,一点风吹草动就要调整自己。那么……能否成为那类更为潇洒的人呢?怎样才能御风蓬叶,泛彼无垠,不被苛刻的平衡所拘束呢?

 

根据写作套路,那肯定就是点题了……对!就是伸展树了,他的出现是因为有人注意到了在信息处理过程中的局部性,就是刚被访问过的数据,极有可能很快的被再次访问到,只要针对这个特性大做文章,就能切中肯綮,而不用对“保持平衡”这件事风声鹤唳了。这也是下面我们要分析的重点。

在二叉搜索树里也时常遇到,主要是两种情况:

  • 每次刚刚访问过的某一个节点有可能很快的会再次被我们访问到
  • 下次访问的节点即便不是刚访问过的那个节点,也不会离得太远

通过此前的学习我们已经知道,对于AVL树而 每一次查找所需的时间都是logn,因此任意的连续m次查找,所需要的累积时间就是mlogn,为了改进,就针对这个局部性来做一做文章吧:

 先来看一个例子,然后类比推理即可。链表里越靠近表头的节点的查找速度越快,遍历所走的步数少嘛,那么如果数据访问有局部性,我们就——访问一个元素后立即把他移动到最前端。

这样做的逻辑是:根据局部性,接下来将要访问的元素很可能就是刚访问的那个元素,而这个元素就在最前端,头部元素的访问是访问是唾手可得的,走一步就到了。从整个数据结构的生命周期而言,这样一个列表结构即便最初是完全随机分布的,在经过了足够长时间的使用之后,在某一段时间内被集中访问的元素都会集中到这个列表的前端去。我们已经知道这个区域(列表前段部分)的访问效率是相应更高的,那就能有更高的访问效率了。

 

现在回到二叉树,为了对比就让树横过来。

 

 

树的顶部元素访问效率更高,所以我们要参照列表,把经常要访问到的元素尽可能的移送到接近树根的位置,也就是要尽可能的降低他们的深度。

 

 

 

 

那我们就这么办:某个元素一经访问,就把它移到树根处。具体做法就是把被访问元素不断做旋转操作直到抵达树根,这样的策略被称为“逐层伸展”,是一种朴素的想法,但是不够好,因为在最坏情况下树退化为一条单链,我们来个极端的,每次恶意访问最深的节点,就会变成这样:

 

 

先注意一下特征:每层只挂了一个节点,这是弊端所在,后面还会提到。然后经过一轮询问,这个树就复原了。看一下整个过程(竖着看)

我们分析一下这一轮操作的代价:假设树的规模是n,访问第一个最深节点的成本是n,第二个节点是n-1,第三个是n-2,然后是n-3n-4和最终的1。整个成本按算术级数增长,这就很恐怖了,总体时间O(N2),分摊到整个周期的n次操作,复杂度ΩN)居高不下,和AVL树的logN相差甚远,这已经沦落到了线性序列的地步。另外还有一个弊端在于:我们需要为此考虑很多种特殊情况。所以这个策略无法让人满意。

 

我们还要另找方法——在初始访问路径上进行一些神奇的旋转,只用了O(1)的空间,而且保持O(logN的时间复杂度

 

具体而言就是:双层伸展,向上追溯两层,通过两次旋转把被访问节点上移至祖父的位置,而且!不是像之前一样自下而上伸展,而是自顶向下进行伸展。这可以说是SplayTree的点睛之笔。这是在1985年Tarjan大神的一篇论文Self-adjusting binary search trees里提出来的,有兴趣可以去Google Scholar上瞻仰一番(和他有关的还有一个Tarjan算法,是关于图的连通性的神奇算法)。祖孙三代的相对位置无非四种:

 

子孙异侧

先从难啃的骨头开始。有些书上会把这种情况称为“之字形”,以此为例:

 

“这特么不就是双旋转么,而且这也就是逐层伸展两次而已,没什么实质区别啊(摔)”,没错,这个部分区别不大,但重点在于另外这条龙一只眼睛,那才是闪光之处:

子孙同侧

有些书上也称为“一字形”。我们先看一下逐层伸展的调整过程,然后和Tarjan的策略作一比较,就知道差距有多大了。 

 

这是我们凡人想到的方法。下面是Tarjan的点睛之笔:

 

 

这里的重中之重是:需要首先越级,从祖父而不是父节点来开始旋转,具体来说就是,经过祖父节点的一次左-左旋转,节点p以及v都会上升一层。接下来对新的树根也就是p,再做一次左-左旋转,把v拉上来成为树根,Done。把这两种方法作一对比,emmm好像没什么大差别啊,是吧?的确这里面的神奇之处一时半会难以察觉,看起来反正都是提高了两层倍,不过它们在局部拓扑结构上还是有微妙差异的,更重要的是——这种局部的微妙差异将导致全局的不同,而且那种不同将是根本性的、颠覆性的!Splay Tree在这个伸展方式的革命中失去的只是锁链,他们获得的将是整个世界。

 现在来看看这个差异所带来的利好。如果用这种方式我们再来访问最深的节点,会有什么改进呢? 

 

现在的改进在于每一层能挂更多的节点了,这就是有效控制树高的一个方法。之前说的逐层伸展最坏情况之所以“坏”是因为,尽管能调整到树根,但是在这个过程中树的高度会以算术级数的速度急剧膨胀,这是一种不计后果的方法,所以很坏。而Tarjan的方法优越性在于,在每次即使访问最深的节点时候,也能控制树高,渐进意义上是之前逐层伸展树高的一半,记得前面说的“会导致全局的不同”么,就是这里的树高缩减一半!这个特性太好了,节点越多,访问次数越多,这个控制的效果越明显,这也被称为SplayTree的折叠效果。那么总结一下双层伸展的核心优势——

 

通过这个例子可以看出:任何一个节点经过访问,再经双层调整后,这个节点所在的路径长度就会减半。甚至可以说——这种效果具有某种意义上的智能:既然在一棵BST中非常忌讳访问很深的节点(这会导致复杂度急剧上升),那这种折叠效果自然就会具有对坏节点的修复作用,我们就不必担心了。犹如含羞草一旦感受到威胁,就会通过迅速收缩,将自己的弱点隐藏起来。因此在采用Tarjan所建议的这种新的策略之后,刚才所举的那种最坏情况就不至持续的发生,可以证明的是单次操作的时间上界是O(logN)。这也就是说我们现在不仅足以应对此前涉及的最坏情况而且也不会有任何其他的最坏情况这是一个再好不过的消息了,简直让人开心到爆炸啊!

 

复习一下:对Splay Tree最合适的做法是双层伸展,即向上追溯两层,通过两次旋转把被访问节点上移至祖父的位置,并且宏观看来是自顶向下进行伸展。

 

现在我们先把以上的伸展策略由理想变为现实,然后以此作为基础,去缔造更丰富的功能。

先给出相关的类型声明和要用到的组件:

 1 #ifndef Splay_h
 2 #define Splay_h
 3 struct SplayNode;
 4 typedef struct SplayNode *SplayTree;
 5 typedef struct SplayNode *Position;
 6 SplayTree FindIn(int x,SplayTree T);
 7 SplayTree Splaying(int Item,Position X);
 8 SplayTree Insert(int Item,SplayTree T);
 9 SplayTree Remove(int Item,SplayTree T);
10 SplayTree FindMin(SplayTree T);
11 Position FindMax(SplayTree T);
12 int Retrieve(SplayTree T);
13 #endif /* Splay_h */
14 
15 
16 struct SplayNode{
17     int value;
18     SplayTree left;
19     SplayTree right;
20 };
21 
22 static Position SingleRotateWithLeft(Position p){//zig
23     Position temp=p->left;
24     p->left=temp->right;
25     temp->right=p;
26     return temp;
27     
28 }//zig
29 
30 
31 static Position SingleRotateWithRight(Position g){
32     Position temp=g->right;
33     g->right=temp->left;
34     temp->left=g;
35     return temp;
36 }//zag

 

然后我们要把一棵树从无到有的过程给做出来

1 static Position Origin=NULL;  
2 
3 SplayTree Init(){
4     if (!Origin) {   //When the tree we talked about is non-exsitent.
5         Origin=(SplayTree)malloc(sizeof(struct SplayNode));
6         Origin->left=Origin->right=NULL;
7     }
8     return Origin;
9 }

这里用Origin代表空指针是为了代码的可读性,这样日后再看起来就能通过变量名清晰地理解代码含义了。不至于过三个月自己写的代码都看不懂2333

 

下面给出双层伸展过程,这是一个被动技能,上一篇里讲的已经很清楚了所以注释就稍微简略一些。

 1 //Top-down splay procedure,not requiring Item to be in the tree
 2 SplayTree Splaying(int Item,Position X) {
 3     static struct SplayNode Header;
 4     Position LeftMax,RightMin;
 5     
 6     Header.left=Header.right=Origin;
 7     LeftMax=RightMin=&Header;
 8     Origin->value=Item;
 9     
10     while (Item != X->value) {
11         if (Item < X->value) {
12             if (Item < X->left->value) {
13                 X=SingleRotateWithLeft(X);
14             }
15             if(X->left==Origin)
16                 break;
17             //Link right
18             RightMin->left=X;
19             RightMin=X;
20             X=X->left;
21         }
22         else{
23             if(Item > X->right->value)
24                 X=SingleRotateWithRight(X);
25             if(X->right==Origin)
26                 break;
27             //Link left
28             LeftMax->right=X;
29             LeftMax=X;
30             X=X->right;
31         }
32     }//while Item != X->value
33     
34     //Reassemble
35     LeftMax->right=X->left;
36     RightMin->left=X->right;
37     X->left=Header.right;
38     X->right=Header.left;
39     
40     return X;
41 }

 

然后是插入,这个要分情况讨论。假设T是当前的树根,如果T是空树,那么我们建立一颗单节点树。否则的话就围绕着Item把T展开,先把T提到树根的位置(下面的两种情况演示都建立在执行过对T伸展之后)。如果已经存在这个元素,就什么也不做,直接返回。其他的情况就剩ins > T 或者 ins < T 了,我们来分别讨论,比如在下图中插入5

 

第一步先申请一个节点 

 

然后比较当前根和待插入节点的数值,如果根大了的话,那么就让T和它的右子树一同作为newNode的一棵右子树,相应地让T的左子树成为newNode的左子树。并且让T的左指针收回去。

 

最后因为要返回T,把T所存的地址变更为新的树根即可。

 

一道非常美味的Splay树插入过程就制作完成了。

 

这是根>待插入节点,那如果根<待插入节点呢?逻辑是类似而又对称的。比如在上图的基础上插入15

 

比较root的值和ins的值,比root大,那就让T和它的左子树一同作为newNode的左子树,让T的右子树成为newNode的右子树

 

 最后变更一下T的值,即可。 

 

其他的细节都很好理解了:

 1 SplayTree Insert(int Item,SplayTree T) {
 2     //T means original root
 3     static Position NewNode=NULL;
 4     if (!NewNode)
 5     {
 6         NewNode=malloc(sizeof(struct SplayNode));
 7     }
 8     NewNode->value=Item;
 9     
10     if (T==Origin)
11     {
12         NewNode->left=NewNode->right=NULL;
13         T=NewNode;
14     }
15     else
16     {
17         T=Splaying(Item, T);
18         if (T->value > Item)
19         {
20             //look at left subtree
21             NewNode->left=T->left;
22             NewNode->right=T;
23             T->left=Origin;
24             T=NewNode;  //make inserted element as root of tree
25         }
26         else if(T->value < Item)
27         {
28             //look at right subtree
29             NewNode->right=T->right;
30             NewNode->left=T;
31             T->right=Origin;
32             T=NewNode;   //make inserted element as root of tree
33         }
34         else return T; //Already in the tree,we do nothing.
35         
36     }
37     
38     NewNode=NULL;
39 //  it given convince for the next insert,then next insert will call malloc straightly
40     
41     return T;  //always make the parameter T act as the root be returned
42 
43 }

 

最后说删除,这个删除就轻松多了,因为每次展开之后,待删除的元素已经放在根的位置了。话说删除过程比对应的插入过程还要简短,这实属罕见.....

先举个例子,我们要删除5。这是删除前的图,用T表示删除之前全树的树根(切记,不然后面容易搞混): 

 

5做一次Splaying,就到顶点了。

 

当根左子树存在的时候,临时节点(new tree)抓住left subtree,以便作为日后的根,接着做一次展开,Newtree就变成新的根了,然后让newTree的右侧挂钩抓住T的右子树…我自己画个图吧

 

然后把原来的根T(所指的那块内存)free,当然这时候T还是存在的,只是那块内存还给OS了。

 

接下来为了保持程序逻辑的统一性,我们还是返回T,为了让T指向正确的位置,就让T指向当前的根。 

 

大功告成,然后把T打发回去就好了。具体过程如下:

 1 SplayTree Remove(int Item,SplayTree T){
 2     Position NewTree;  //
 3     if (T) {
 4         T=Splaying(Item, T);
 5         if (Item==T->value) {
 6             //primarily we find it
 7             if(!T->left)
 8                 NewTree=T->right;
 9             else{
10                 NewTree=T->left;
11                 NewTree=Splaying(Item, NewTree);
12                 NewTree->right=T->right;
13             }
14             free(T);
15             T=NewTree;
16         }
17     }
18     
19     return T;
20 }

 

写到这里我不禁想吐槽一下课本,多给点步骤图不行么……我一开始脑内调试了好久才完全理解的。为了减轻我们的学习成本,我就把里面每一个步骤的分解动作都画出来了,希望能弥补原书缺少实例的这一缺憾吧,书是好书,就是太抽象了2333  如果光看代码没有实例步骤图,只有抽象的开始图片和结束图片,就很难迅速理解。

 

伸展树到这里就结束了,下一站是——B-树!

 

posted @ 2018-08-20 06:01 仪式黑刃 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏