题解：abc402-D- Line Crossing

题目传送门

这题的题目大意是：有 \(n\) 个点平均分布在一个单位圆上，编号顺时针分别是 \(1,2,3...n\)。现在给定 \(m\) 个 \(a_i\) 和 \(b_i\)，在两点之间连一条直线。问有多少条直线相交。

形如以上图片，即 \(n=8,m=3\)，\(a_i=1,1,2\)，\(b_i=8,5,4\)，则第一条直线与第二条直线相交，第一条直线还与第三条直线相交。所以答案为三。

容易想到容斥，先求出所有可能相交的情况的总和，即为 \(\frac{n\times (n-1)}{2}\)，再减去非法情况，即平行的直线二元组的数量，设平行的直线的数量为 \(cnt\)，那么二元组数量即为 \(\frac{cnt\times (cnt-1)}{2}\)。又因为可能在多个方向上平行，所以每个方向上的平行直线数量要分开算。

观察即可发现，如果一条直线用 \((i,j)\) 来表示，\(i,j\) 是点的编号，那么它的平行直线可以用 \(((i+k)\bmod n,(j-k+n)\bmod n)\) 来表示。化简后发现，任意两条平行直线的 \((i+j)\bmod n\) 相等，那么就可以通过这个性质快速统计出平行直线的数量，再根据上文推得结论即可算出答案。

代码如下。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=3010101;
string s;
ll ans,n,m,k[N];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
    	ll x,y;
		cin>>x>>y;
		k[(x+y)%n]++;
	}
	ans=(m-1)*m/2;
	for(int i=0;i<=n;i++)ans-=(k[i]-1)*k[i]/2;
	cout<<ans;
    return 0;
}