题解：P9370 [APIO2023] 赛博乐园 / cyberland

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题目大意

有 \(N\) 个国家，\(M\)条双向道路，每一条道路的花费为 \(c_i\)，有些国家有超能力，用 \(arr_i\) 来表示第 \(i\) 个国家的超能力编号，若 \(arr_i=0\)，表示第 \(i\) 个国家可以把之前的所有花费清零，若 \(arr_i=1\) 表示这个国家没有超能力，若 \(arr_i=2\) 表示这个国家可以把当前花费除以 \(2\)，但是这个能力最多用 \(k\) 次。国家可以重复经过，每次经过都可以选择是否使用超能力，至多用一次。求从 \(0\) 号点到 \(H\) 的最小花费，误差 \(<10^{-6}\)。

思路

容易发现当 \(k>70\) 时，误差已经小于 \(10^{-6}\)。所以我们想到用分层图跑 dijkstra， 以 \(0\) 号点和所有的\(arr_i=0\) 的点为起点，对于 \(arr_i=2\) 的国家记得 \(dis \div 2\)，其他国家正常跑最短路。优先队列排序时以层数为第一关键字，花费为第二关键字。

思路比较清晰，但是代码有很多细节。注意是多测，要及时清空，特别是链式前向星，一定要把 \(head\) 数组归零。还有要先跑一遍 dfs 判断连通性。不建议使用 memset 清空数组，很慢，建议直接用 for。vector 存图也有点慢，链式前向星会快一点。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include "cyberland.h"
#define INF 1e18
using namespace std;
const int N=101010;
int vis[70*N],head[70*N],tot,n,h,k;
double dis[70*N];
int id(int x,int y){return x+y*n;}
struct tt{
    int to,w,next,div;
}e[200*N];
struct node{
    int id;
    double val;
    bool operator < (const node &a)const{
        if(id/n!=a.id/n)return id/n>a.id/n;
        return val>a.val;
    }
};
void add(int u,int v,int w,int div){e[++tot]=(tt){v,w,head[u],div},head[u]=tot;}
priority_queue<node>q;
void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    if(u==h)return;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
    	int v=e[i].to;
        if(vis[v])continue;
        dfs(v);
    }
}
void init(){
    for(int i=0;i<=n*(k+1)+10;i++)vis[i]=0,head[i]=0,dis[i]=INF;
	tot=0;
}
double solve(int N,int M,int K,int H,std::vector<int>x,std::vector<int>y,std::vector<int>c,std::vector<int>arr){
    K=min(K,68);
	n=N,h=H,k=K;
    init();
    for(int i=0;i<M;i++){
        add(x[i],y[i],c[i],1);
        add(y[i],x[i],c[i],1);
    }
    dfs(0);
    if(!vis[H])return -1;
    for(int i=0;i<=(n+1)*k+1;i++)head[i]=0;
    tot=0;
    for(int i=0;i<M;i++){
        for(int j=0;j<=K;j++){
            if(x[i]!=H)add(id(x[i],j),id(y[i],j),c[i],1);
            if(y[i]!=H)add(id(y[i],j),id(x[i],j),c[i],1);
			if(j!=K&&x[i]!=H&&arr[y[i]]==2)add(id(x[i],j),id(y[i],j+1),c[i],2);
            if(j!=K&&y[i]!=H&&arr[x[i]]==2)add(id(y[i],j),id(x[i],j+1),c[i],2);
        }
    }
    for(int i=0;i<N;i++)if(!arr[i]&&vis[i])q.push((node){i,0}),dis[i]=0;
    for(int i=0;i<=(N+1)*K+10;i++)vis[i]=0;
	q.push((node){0,0});
	dis[0]=0;
    while(!q.empty()){
        node now=q.top();
		int u=now.id;
        q.pop();
        if(vis[u])continue;
        vis[u]=1;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            int w=e[i].w;
            int d=e[i].div;
            if((dis[u]+w)/d<dis[v]){
                dis[v]=(dis[u]+w)/d;
                if(!vis[v])q.push((node){v,dis[v]});
            }
        }
    }
    double ans=INF;
    for(int i=0;i<=K;i++)ans=min(ans,dis[id(H,i)]);
    return ans;
}