题解：P8339 [AHOI2022] 钥匙
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题意
给出一棵树，树上每个节点有一把钥匙或宝箱，钥匙和宝箱都有颜色，颜色要一一对应才能打开宝箱。现在给出 \(m\) 趟旅程，每次给定 \(s\) 和 \(t\) 求一路上最多能开多少宝箱。
思路
注意到每种颜色之间互不干扰，所以可以分开考虑。用单调栈构建不同颜色的虚树，然后对于每种颜色的虚树，我们考虑求出可能成为贡献的几对节点，我们假设钥匙是 \(k\)，宝箱是 \(b\)，那么用 \(k_i\) 开的 \(b_j\) 就可以作为贡献记录下来，记为 \((b_i,k_j)\)。
这里简单提一下怎么建虚树（实际是笔者才刚学会），对于每种颜色的钥匙和宝箱，我们用单调栈维护，将相同颜色的点与栈顶判断 \(lca\)，如果 \(lca\) 是栈顶，那么直接入栈，否则将栈顶弹出，直到栈顶的深度与 \(lca\) 的相同，如果这时栈顶不是 \(lca\) 的话，要让 \(lca\) 入栈。注意弹出的时候不要忘记连边。
具体情况见代码：
void inline ins(ll x){
vir.push_back(x);
if(!top){
s[++top]=x;
return ;
}
ll p=lca(s[top],x);
while(top>1&&dep[s[top-1]]>=dep[p]){
e[s[top-1]].push_back(s[top]);
e[s[top]].push_back(s[top-1]);
top--;
}
if(s[top]!=p){
e[s[top]].push_back(p);
e[p].push_back(s[top]);
s[top]=p;
vir.push_back(p);
}
s[++top]=x;
}
这里顺便提一嘴 \(lca\)。这里的 \(lca\) 是用重链剖分，不是倍增，倍增会超时。中联剖分的 \(lca\) 每次就判断是否已经在一条链上，如果是就返回深度较小的那个点，否则就继续跳。
代码：
ll lca(ll x,ll y){
while(tp[x]!=tp[y]){
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]])swap(x,y);
x=fa[tp[x]];
}
return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
现在我们考虑这个有什么用，如果想让一段旅程包含 \((b_i,k_j)\) 这个贡献，那么对 \(s\) 和 \(t\) 便有限制。
这里需要分类讨论一下：
如果 \(b_i\) 和 \(k_j\) 互不是对方的祖先，那么只需要 \(s\) 在 \(b_j\) 的子树内，\(t\) 在 \(k_i\) 的子树内即可。
如果 \(b_i\) 是 \(k_j\) 的祖先，那么只需要 \(s\) 在 \(b_i\) 的子树内，\(t\) 不在 \(k_j\) 的子树内，但是也可以在 \(k_j\) 这个点上。我们令 \(u\) 为 \(k_j\) 到 \(b_i\) 路径上的 \(k_j\) 的儿子，那么 \(s\) 只需要在 \(b_i\) 的子树内，\(t\) 只需要在 \(u\) 的子树外即可。
如果 \(k_j\) 是 \(b_i\) 的祖先同理。
详细情况见代码：
void pushup(ll l,ll r,ll x,ll y){
if(l>r||x>y)return;
sum[l].push_back({x,1});
sum[l].push_back({y+1,-1});
sum[r+1].push_back({x,-1});
sum[r+1].push_back({y+1,1});
}
void insert(ll x,ll y){
if(check(x,y)){
ll z=js(y,x);
pushup(1,dfn[z]-1,dfn[y],dfn[y]+siz[y]-1);
pushup(dfn[z]+siz[z],n,dfn[y],dfn[y]+siz[y]-1);
}
else if(check(y,x)){
ll z=js(x,y);
pushup(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,1,dfn[z]-1);
pushup(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,dfn[z]+siz[z],n);
}
else{
pushup(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,dfn[y],dfn[y]+siz[y]-1);
}
}
这里的 \(sum\) 数组是为了后面计算的差分数组。
那么要怎么判断是否在子树内呢。可以用 \(dfs\) 序，在子树内的话 \(dfs\) 序一定是连续的，所以只需要判断 \(dfs\) 序是否在对应区间内即可。
那么具体该怎么计算呢？我们想到可以用树状数组维护区间差分。由于这里有两个区间的限制，所以我们用下标来维护一个区间，用值来维护另一个区间。
这里直接讲可能不太好懂，所以借助代码一起。
代码：
for(int i=1;i<=m;i++){
ll u,v;
cin>>u>>v;
num[dfn[u]].push_back({dfn[v],i});
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(auto v:sum[i])add(v.first,v.second);
for(auto v:num[i])ans[v.second]=query(v.first);
}
在这里面 \(num\) 记录的是起点和终点以及编号，因为要离线处理。\(sum\) 数组中存贮的是要差分的位置和值，因为每段旅程想要包含这段贡献的话，就要起点和终点都在对应的区间内，而我们用树状数组的下标和前缀和来维护第一个区间，保障当到这个起点时，所有能包含该起点的区间都被放入了树状数组，而第二个区间我们用树状数组的值，也就是用差分来维护，只要被包含在这段区间内的话，值就会 \(+1\)。
最后给一下完整代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll int
using namespace std;
const int M=1010101;
const int N=501010;
ll n,m,ans[M],siz[N],dep[N],fa[N],son[N],tp[N],dfn[N],tot,cnt,pre[N],top,S,col;
ll c[N],t[N],s[N],tree[N];
vector<ll>g[N];
void dfs1(ll u){
siz[u]=1;
for(auto v:g[u]){
if(v==fa[u])continue;
fa[v]=u;
dep[v]=dep[u]+1;
dfs1(v);
siz[u]+=siz[v];
if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
}
}
void dfs2(ll u,ll top){
tp[u]=top,dfn[u]=++cnt;
pre[dfn[u]]=u;
if(son[u])dfs2(son[u],top);
for(auto v:g[u]){
if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
dfs2(v,v);
}
}
ll lca(ll x,ll y){
while(tp[x]!=tp[y]){
if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]])swap(x,y);
x=fa[tp[x]];
}
return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
vector<ll>vir,e[N];
void inline ins(ll x){
vir.push_back(x);
if(!top){
s[++top]=x;
return ;
}
ll p=lca(s[top],x);
while(top>1&&dep[s[top-1]]>=dep[p]){
e[s[top-1]].push_back(s[top]);
e[s[top]].push_back(s[top-1]);
top--;
}
if(s[top]!=p){
e[s[top]].push_back(p);
e[p].push_back(s[top]);
s[top]=p;
vir.push_back(p);
}
s[++top]=x;
}
bool check(ll x,ll y){return dfn[x]<=dfn[y]&&dfn[x]+siz[x]>dfn[y];}
ll js(ll x,ll y){
ll res=0;
while(tp[x]!=tp[y]){
res=tp[x];
x=fa[tp[x]];
}
if(x==y)return res;
return pre[dfn[y]+1];
}
vector<pair<ll,ll> >sum[N];
void pushup(ll l,ll r,ll x,ll y){
if(l>r||x>y)return;
sum[l].push_back({x,1});
sum[l].push_back({y+1,-1});
sum[r+1].push_back({x,-1});
sum[r+1].push_back({y+1,1});
}
void insert(ll x,ll y){
if(check(x,y)){
ll z=js(y,x);
pushup(1,dfn[z]-1,dfn[y],dfn[y]+siz[y]-1);
pushup(dfn[z]+siz[z],n,dfn[y],dfn[y]+siz[y]-1);
}
else if(check(y,x)){
ll z=js(x,y);
pushup(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,1,dfn[z]-1);
pushup(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,dfn[z]+siz[z],n);
}
else{
pushup(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,dfn[y],dfn[y]+siz[y]-1);
}
}
void dfs(ll u,ll fa,ll w){
if(w<0)return;
for(auto v:e[u]){
if(v==fa)continue;
if(!w&&c[v]==col&&t[v]==2){
insert(S,v);
continue;
}
ll k=0;
if(c[v]==col&&t[v]==1)k++;
if(c[v]==col&&t[v]==2)k--;
dfs(v,u,w+k);
}
}
ll lowbit(ll x){return x&(-x);}
void add(ll x,ll y){
while(x<=n){
tree[x]+=y;
x+=lowbit(x);
}
}
ll query(ll x){
ll res=0;
while(x){
res+=tree[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
vector<ll>b[N];
vector<pair<ll,ll> >num[N];
bool cmp(ll a,ll b){return dfn[a]<dfn[b];}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>t[i]>>c[i],b[c[i]].push_back(i);
for(int i=1;i<n;i++){
ll u,v;
cin>>u>>v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
dfs1(1);
dfs2(1,1);
top=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
col=i;
if(!b[i].size())continue;
sort(b[i].begin(),b[i].end(),cmp);
for(auto v:b[i])ins(v);
while(top>1){
e[s[top-1]].push_back(s[top]);
e[s[top]].push_back(s[top-1]);
top--;
}
for(auto v:b[i]){
if(t[v]==1&&c[v]==i){
S=v;
dfs(v,0,0);
}
}
for(auto v:vir)e[v].clear();
vir.clear();
top=0;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
ll u,v;
cin>>u>>v;
num[dfn[u]].push_back({dfn[v],i});
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(auto v:sum[i])add(v.first,v.second);
for(auto v:num[i])ans[v.second]=query(v.first);
}
for(int i=1;i<=m;i++)cout<<ans[i]<<'\n';
return 0;
}
完结撒花！
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