题解：CF1647F Madoka and Laziness

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题意

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，要求把这个序列分成两个子序列使得这两个子序列都为单峰序列，问有多少种划分方案，两种划分方案不同时，当且仅当存在一个序列的峰值不同。

思路

注意到，序列中每个数都不相同。所以，一定有一个子序列一直包含着序列中的最大值。所以方案数一定不会超过 \(n\)。我们钦定包含序列最大值的子序列为 \(A\)，另一个子序列为 \(B\)。由于序列最大值 \(x\) 会被包含在第一个序列中，我们假定第二个序列的峰值 \(y\) 在 \(x\) 的右边。那在左边的情况怎么办呢，把整个序列翻转，再操作一遍即可。

那么根据 \(x\) 和 \(y\) 的相对位置，我们可以把所有情况分为三种，如下图所示：

在 \(1\sim x\) 的区间内，序列 \(A\) 和序列 \(B\) 都上升，但是观察可知，因为序列 \(A\) 的峰值离 \(1\) 更近且峰值最大，所以在这段区间内我们要求让序列 \(A\) 上升的值尽可能的大，而序列 \(B\) 上升的值尽可能的小，这是为了满足 \(y\) 为峰值。

代码如下：

m1=m2=0;
for(int i=1;i<=pos;i++){
    if(a[i]>m1)m1=a[i];
    else if(a[i]>m2)m2=a[i];
    else return;
}

如果这个数可以给序列 \(A\) 那么就优先给序列 \(A\),否则给序列 \(B\)。因为序列 \(A\) 的峰值最大，不用担心加入序列 \(A\) 的数会超过峰值。如果这个数都不能加入两个子序列那么说明这种情况不合法，直接返回。

同理，在 \(y\sim n\) 的区间内，序列 \(A\) 和序列 \(B\) 都下降。但是为了让当前 \(a_i\) 可能成为序列 \(B\) 的峰值，所以我们从后往前循环，用类似情况一的贪心策略，不过是让序列二尽可能大，这样 \(a_i\) 才有可能成为序列二的峰值为整个序列做贡献。

代码如下：

for(int i=n;i>pos;i--){
    if(a[i]>m2)m2=a[i];
    else if(a[i]>m1)m1=a[i];
    else break;
    dp1[i]=m1,dp2[i]=m2;
}

最后一种情况就是 \(x \sim y\) 的区间，这时 \(A\) 序列下降 \(B\) 序列上升，所以我们先考虑那种情况必须给 \(B\) 或给 \(B\) 更优，那么我们就把 \(a_i\) 给 \(B\)，否则给 \(A\)。同时判断答案是否合法。

代码如下：

for(int i=pos+1;i<=n;i++){
    if(a[i]>m2&&(a[i]>m1||a[i]<a[i+1]))m2=a[i];
    else if(a[i]<m1)m1=a[i];
    else break;
    ans+=(m1>dp1[i]&&m2<=dp2[i]);
}

最后不要忘记 把整个序列翻转，再做一遍。

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1010101;
const ll inf=1e18;
ll n,ans,a[N],dp1[N],dp2[N];
void solve(){
    ll pos=0,m1=0,m2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)dp1[i]=1e9,dp2[i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(a[i]>a[pos])pos=i;
    for(int i=n;i>pos;i--){
        if(a[i]>m2)m2=a[i];
        else if(a[i]>m1)m1=a[i];
        else break;
        dp1[i]=m1,dp2[i]=m2;
    }
    m1=m2=0;
    for(int i=1;i<=pos;i++){
        if(a[i]>m1)m1=a[i];
        else if(a[i]>m2)m2=a[i];
        else return;
    }
    for(int i=pos+1;i<=n;i++){
        if(a[i]>m2&&(a[i]>m1||a[i]<a[i+1]))m2=a[i];
        else if(a[i]<m1)m1=a[i];
        else break;
        ans+=(m1>dp1[i]&&m2<=dp2[i]);
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    solve();
    reverse(a+1,a+n+1);
    solve();
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}