绝对坐标系与相对坐标系

在CAD中，开启程序后，会进入一个默认的视口空间。这个空间里的 每一个位置点，都对应着一个特定的坐标，而这个坐标系又与一个基准点紧密相关，这个基准点所代表的坐标系称为 世界坐标系（WCS）。

然而实际操作中，图形与世界坐标系之间的角度可能并非垂直或平行。为了解决这种偏离正交的情况，可以定义一个新的参考坐标系——用户坐标系（WCS），以更符合自己图形的方向。

基变换原理

世界坐标系标准基

\[W=\begin{Bmatrix} i=\begin{bmatrix}1\\0\\0 \end{bmatrix}, j=\begin{bmatrix}0\\1\\0 \end{bmatrix}, i=\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}, \end{Bmatrix} \]

设目标坐标系 \(\mathcal{A}\) 的基向量为

\[A=\begin{Bmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\end{Bmatrix} \]

每个基向量在世界坐标系中的表示为

\[a_1 = \begin{bmatrix}\alpha_{11}\\\alpha_{12}\\\alpha_{13}\end{bmatrix}_W, a_2 = \begin{bmatrix}\alpha_{21}\\\alpha_{22}\\\alpha_{23}\end{bmatrix}_W, a_3 = \begin{bmatrix}\alpha_{31}\\\alpha_{32}\\\alpha_{33}\end{bmatrix}_W \]

基变换矩阵

\[M_{W\rightarrow A}=\begin{bmatrix} \alpha_{11}&\alpha_{21}&\alpha_{31}\\ \alpha_{12}&\alpha_{22}&\alpha_{32}\\ \alpha_{13}&\alpha_{23}&\alpha_{33}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_1^T \\a_2^T \\a_3^T \end{bmatrix} \]

性质

• 基变换矩阵一定可逆
• 多次基变换（复合变换）的过渡矩阵是各次过渡矩阵的乘积

坐标系层次

存在三个层次的坐标系：

• 世界坐标系
• 相对坐标系
• 相对具体视图坐标系（二维，只用X轴和Y轴）

相对坐标系是指以前视图为基准的中间系

从世界系到目标系

\[A =M_{W\rightarrow A} \bullet W \]

从目标系到世界系

\[W =M_{W\rightarrow A} ^{-1}\bullet A \]

由于坐标系是正交矩阵，所以逆矩阵等于转置矩阵

逆变换变为：

\[W =M_{W\rightarrow A} ^{T}\bullet A \]

点坐标转换

\[P_{new} = R × (P_{old} - O) \\或\\ P_{new} = R × P_{old} + T \]

方向向量转换

\[V_{new} = R×V_{old} \]

其中

R是3阶旋转矩阵

O是原点偏移向量（新坐标系原点在原坐标系中的坐标）

T是平移向量