扩展欧几里得算法

Bézout定理

• \(ax + by = gcd(a, b)\)

证明
欧几里得算法执行到最后时，存在\(x=1,y=0\)，\(a*1+0*0=gcd(a, 0)\)。
若\(b>0\)，\(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\)。假设存在\(x, y\)，满足\(b*x+( a\ mod\ b)*y=gcd(b,a\ mod\ b)\)，则\(bx+(a\ mod\ b)y=bx+y(a-b \lfloor a/b \rfloor ) = b(x-b \lfloor a/b \rfloor)+ay\)，其中\(x'=y,y'=x-b \lfloor a/b \rfloor\).

int exgcd( int a, int b, int &x, int &y ){
	if( b == 0 ){ x = 1, y = 0; return a; }
	int d = exgcd( b, a % b, x, y );
	int z = x; x = y, y = z - y * ( a / b );
	return d;
}