狄利克雷函数

1.基本概念

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（1805－1859），德国数学家，创立了现代函数的正式定义。

狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门有个符号D(X)来表示：

特点：

狄利克雷函数，因为无理数、有理数的混杂，所以函数值也是 $1,0$ 互相参杂，可以直观的想象，该函数：

画不出图像
处处没有极限
处处不连续
这是一个有界函数

其实也可以勉强画出它的图像，在宏观角度下看

但实际上它的图像不是正真连续的直线，在微观上看，这两条直线应该充满了许多的小洞，因为实数是由有理数，无理数才可以铺满它。

所以狄利克雷函数并不是连续函数。（连续函数的定义需满足：1.在此处有定义；2.在此区间内有极限）因为它虽然在实数范围内有定义，但是函数图像来回波动，没有一个确切的极限。

用严谨的数学表达式可以写成如下格式：

大白话解释：

（1）首先第一个明白什么是有理数，无理数，小学我们就学过，无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数,任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。

注意：（3.000也是有限小数，也就是说整数可以化成小数形式，即所有整数都是有理数）

（2）然后你要知道有理数是2个整数相除的形式，而无理数不能写成2个整数相除。k！是k的阶乘，就是1×2×...×k。如果k趋于无穷那么k！就是所有整数的成乘积。所以x如果是有理数那么xk！就是整数(有理数放大无穷大倍数，就变成整数)。cos pi k！x的值只能是±1，外面再乘一个2次方变1。然后就一直是1了。反之x是无理数，xk！一定不是整数，cos pik！x就不能等于+-1，根据余弦函数的值域，cospik！x就只能取绝对值小于1的数了，那么在外面在来个2j次方，j趋于无穷，最后一定是0啊。

（2）狄利克雷函数可以构造单点连续函数

虽然说狄利克雷函数不是一个连续函数，但是却可以利用它构造连续函数，确切来说可以利用它来构造在某个区间或者某个点连续的函数。

首先你已经知道了狄利克雷函数虽然不是连续函数，但是它是一个有界函数【0，1】，我们必须了解有界与连续有什么关系。

有界与连续：如果一个函数有界，并且这个函数单调（单调递增，递减，不变都可以），那么这个函数有极限。

通过上述分析，我相信你一定明白了，对于狄利克雷函数函数在构造连续函数方面的优点在哪里了，就是它是一个一个有界函数，那么在给它加上个单调的装备，它就可以变身连续函数了。

首先你要明白，数学中的“连续”是定义在点上的概念，而非某一线段。

所以自然而然存在单点连续函数，请注意，这个单点连续函数只在这个点上连续。

下面是狄利克雷函数构造的单点连续函数。