集合

前言

因为不喜欢 \(X 是正有理数\) 之类的描述所以来投奔集合了。

1. 集合的有关定义

一些元素构成的整体叫做集合。
集合中的每一个个体叫做元素。
常用 \(A,B,C\) 等拉丁大写字母表示集合，用 \(a,b,c\) 等小写字母表示集合中的元素。
当构成两个集合的元素相同时，这两个集合相等，用 \(=\) 连接。

2. 集合的性质

2.1 集合与元素的关系

元素和集合只有两种关系：属于或不属于。
属于，用 \(\in\) 表示。
不属于，用 \(\notin\) 表示。
用 \(\in , \notin\) 连接一个元素与一个集合。
e.g.

\(-1 \in \mathbb{Z}^-\ \ \ \ \ \ 0 \notin \mathbb{Z}^+\)

2.2 集合的三大特性

• 确定性
  集合内的元素必须是确定的。
  e.g.

  1. "比较小的数"
     构不成集合，原因：集合内元素不确定，没有一个标准。“多少”算是比较少？
  2. "所有大于 \(200\) 的实数"
     可以构成集合

• 无序性
  集合中的元素可以任意排列。
  e.g.

  1. 集合 { \(a,b,c\) } 等同于集合 { \(b,a,c\) } 等同于集合 { \(c,a,b\) }。

• 互异性
  一个集合中的元素是互不相同的。极易错
  e.g.

  1. { \(1,1,4,5\) } 是集合吗？
     不是，原因：\(1,1\) 出现了相同元素。

3.常见数集

\[\mathbb{N}\ 自然数集\ \ \ \ \mathbb{Z}\ 整数集 \ \ \ \ \mathbb{Q}\ 有理数集 \ \ \ \ \mathbb{R}\ 实数集\ \ \ \ \mathbb{C}\ 复数集\ \ \ \ \mathbb{I}\ 虚数集 \]

\[特殊角标：^+ \ 数集中所有正数 \ \ \ \ \ ^- \ 数集中所有负数 \ \ \ \ \ ^* \ 数集中除0以外的所有数 \]

e.g.

\(\mathbb{Z}^-:负整数\ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbb{R}^+:正实数\ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbb{R}^*:非0实数\)

\(a\in \mathbb{R}^*\ \ :a是非0的实数\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b\in \mathbb{R}^+\ \ :b是正实数\)

4. 集合的表示法

4.1 列举法

使用 \(\begin{Bmatrix}\end{Bmatrix}\) 将集合内的元素列举出来。
e.g.

1. 绝对值小于 \(3\) 的整数
   \(\begin{Bmatrix}0,1,2,3,-1,-2,-3\end{Bmatrix}\)
2. 大于 \(1\) 小于 \(5\) 的整数
   \(\begin{Bmatrix}2,3,4\end{Bmatrix}\)
3. 所有偶数构成的集合
   \(\begin{Bmatrix} 0,\pm2,\pm4,\cdots\end{Bmatrix}\)

4.2 描述法

格式：
\(\begin{Bmatrix}(研究对象) \ | \ (满足的特征)\end{Bmatrix}\)
e.g.

1. 大于 \(1\) 小于 \(5\) 的整数
   \(\begin{Bmatrix}x \ | \ 1<x<5,x\in \mathbb{Z}\end{Bmatrix}\)
   注意：
   研究对象为数，用 \(x\) 代替，因为字母可以表示任意数。
   不要丢下 “整数” 这一条件！
2. 所有偶数构成的集合
   \(\begin{Bmatrix}x \ | \ x为偶数\end{Bmatrix}\) 或
   \(\begin{Bmatrix}x \ | \ x=2n,n\in \mathbb{Z}\end{Bmatrix}\)
   注意：
   在 \((满足的特征)\) 中可以引入新变量，但必须在后面写好取值范围
3. 平面直角坐标系第一象限的点构成的集合
   \(\begin{Bmatrix}(x,y)|x>0,y>0,x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R}\end{Bmatrix}\)
   注意：
   在此例中描述的是点，因此需用点的表示形式 \((x,y)\) 表示研究对象，这种集合称为点集。
   坐标轴并不在第一象限内。
   平面直角坐标系中只能表示所有实数，因此不要忘记在 \(x,y\) 后面写好取值范围。

5. 集合之间的关系

不含任何元素的集合叫做空集，用符号 \(\varnothing\) 表示。
前提：可以构成一个集合。
e.g.

1. 大于 \(200\) 岁的活人
   可以构成一个集合，但集合中没有元素，所以是一个空集。
2. 很接近 \(+\infty\) 的数。
   违反集合的确定性，不能构成一个集合，因此不能描述“它是什么集合”。

注意：
当集合内有参数时，注意空集。
特别规定：空集是任何集合的子集。极易错

子集的定义

如果集合 \(A\) 中的任意一个元素都属于集合 \(B\)，则称集合 \(A\) 是集合 \(B\) 的子集。
用符号表示为 \(A \subseteq B\) ，读作“\(A\) 包含于 \(B\)”。
还可以表示为 \(B \supseteq A\) ，读作“\(B\) 包含 \(A\)”。

子集的特殊情况

对于集合 \(A\) 与集合 \(B\):

• 当 \(A=B\) 时
  此时不仅 \(A \subseteq B\)，同时 \(B \subseteq A\)。
  反过来，当\(A \subseteq B\)，且 \(B \subseteq A\) 时，\(A=B\)。
• 当 \(A \subseteq B\) 时，有元素属于 \(B\)，但却不属于 \(A\)（即 \(A \ne B\)）
  此时称 \(A\) 是 \(B\) 的真子集。
  用符号表示为 \(A \subsetneqq B\) ，读作"\(A\) 真包含于 \(B\)"。
  还可以表示为 \(B \supsetneqq A\)。
• 当 \(A=\varnothing\) 时
  此时 \(A\subsetneqq B\) 仍然成立。
  特别规定：空集是任何集合的子集。

计算子集个数

对于有 \(n\) 个元素的集合

• 有 \(2^n\) 个不同的子集。
• 有 \(2^n-1\) 个不同的真子集。

6. 集合之间的运算

交集

从名字可以知道两集合的交集也就是两集合的相交部分。对于集合 \(A,B\)，其交集表示为 \(A\cap B\)。
交集满足交换律、结合律、分配律：

并集

即两集合两集合合并以后组成的整体。对于集合 \(A,B\)，其并集表示为 \(A\cup B\)。

怎么记这两个符号的方向呢？可以看 "交"，"并" 二字汉字写法那两个点的朝向。

补集

对于全集 \(U\) 和其中的一个集合 \(A\)，定义全集中不属于集合 \(A\) 的元素组成的集合叫做集合 \(A\) 的补集，用 \(\complement_U A\) 表示。在全集不变的情况下，也可以用 \(\overline{A}\) 表示。

运算律

对于交集，并集，其都满足交换律，结合律，分配律，吸收律：

\[A\cap B=B\cap A\\ A\cap (B \cap C)=(A\cap B)\cap C\\ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\]

\[A\cup B=B\cup A\\ A\cup (B \cup C)=(A\cup B)\cup C\\ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\]

\[(A\cap B)\cup A=A\\ (A\cup B)\cap A=A\]

对于补集，其满足德摩根定律和重叠律：
德摩根：

\[\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}\\ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\]

重叠律：

\[(\overline{A}\cap B)\cup A=A\cup B\\ (\overline{A}\cup B)\cap A=A\cap B\]

要注意：

\[(\overline{A}\cap B)\ne B\\ (\overline{A}\cup B) \ne B\]

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