算法导论第八章习题答案（第三版） Introduction to Algorithm
Exercises
8.1-1
最小深度为n，下一次需比较的元素比当前最大元素大即可。
8.1-2
将其拆为两项的和即可。
\[\lg n! = \sum\limits_{k = 1}^n {\lg k} = \sum\limits_{k = 1}^{n/2} {\lg k} + \sum\limits_{k = n/2 + 1}^n {\lg k} \le \sum\limits_{k = 1}^{n/2} {\lg \frac{n}{2}} + \sum\limits_{k = n/2 + 1}^n {{\mathop{\rm lgn}\nolimits} } = \frac{n}{2}\lg \frac{n}{2} + n\lg n = O(n\lg n)\]
\[\lg n! = \sum\limits_{k = 1}^n {\lg k} = \sum\limits_{k = 1}^{n/2} {\lg k} + \sum\limits_{k = n/2 + 1}^n {\lg k} \ge \frac{n}{2}\lg 2 + \frac{n}{2}\lg \frac{n}{2} = \Omega (n\lg n)\]
所以上式可证。
8.1-3
只需要计算的是是否有这么多的叶结点使得树高为Θ(n)即可。
经计算可知1/2和1/n均不可以（至于1/2n，不会算，还望大家告之）。
8.1-4
书上提示简单的将每个子序列的下界进行合并是不合理的，那是因为独立解决每个子序列不一定是最优的。
高为h的决策树至少有2h个叶结点，所以\({2^h} \ge k{!^{\frac{n}{k}}}\)。
所以可以求解。
8.2-1.略。
8.2-2
前面的循环中，当有重复元素的时候，存入数组是从前往后存入的，最后是从后向前循环，元素插入的顺序就变为从后向前插入的，后插入的位置自然放后，所以正好是稳定的。
8.2-3
不稳定
8.2-4
C数组中最终存放的是小于等于c的元素个数，所以只要求出C[b]-C[a-1]的值即可。
8.3-1.略。
8.3-2
插入排序和归并排序是稳定的，快速排序和堆排序是不稳定的。为每个元素从[大到小增加一个编号，当两个元素相等的时候就比较编号。带来的额外空间花费是O(n)。
8.3-3
在证明排序第d位有两个相等元素并不改变d-1位已经排好元素的顺序的时候。
8.3-4
把这n个数看成n进制的数，那么只需要3位即可对0到n3-1的数进行排序。很显然基数排序，时间复杂度是O(n)。
8.3-5
排序第i位十进制数需要10i-1遍，所以等比数列求和可得最坏情况学(10d-1)/9遍，在最坏情况下工序10d个堆。
8.4-1.略。
8.4-2
如果所有元素都不幸的被放在同一个桶中，那么对n个元素进行插入排序，就是最坏运行时间Θ(n2)。对每一桶内的排序选用最坏运行时间为Θ(nlgn)的排序算法。
8.4-3
根据概率论相关知识，可以很简单的算出：E[X2]=3/2,E2[X]=1。
8.4-4
明显类似桶排序，数据服从均匀分布，分成n个桶，每个桶半径的差值为1/n。
8.4-5
Thinking Problems
8-1
a.n个互异的输入元素共有n!中输入，所以到达每个叶子节点的概率为1/n!，没有其他的情况，所以概率为0。
b.画出决策树就很显然可以看出了。
c.
8-2
a.计数排序。
b.快速排序。
c.插入排序。
d.a可以，b不可以，因为是不稳定的，c不可以，因为最坏运行情况是Θ(n2)。
e.将书中计数排序最后一步的改为i从1到A.length的循环，这样，每次都把等于i的元素依次放入A中，直到c[i]=0，再继续外层循环。
但是这个算法却不是稳定的。
8-3
a.先用计数排序对数字的位数进行排序需O(n),再用计数排序分别对每个位数的桶进行排序也是O(n)。
b.递归调用计数排序。
8-4
a.最简单的穷举算法，一个一个一一比较即可。
b.
c.从红色水壶中随机选择一个，以这个红色水壶为主元，对蓝色水壶进行划分，此时可以找到一个与其相等水量的蓝色水壶，再用这个蓝色水壶对红色水壶进行划分，之后递归调用这些步骤，有点类似于快速排序。
8-5
a.就代表这个数组是排序的。
b.略。
c.因为数组A是k排序的，那么将原式展开化简即可得到A[i]≤A[i+k]。
d.分别对1,1+k,1+2k,1+3k......;2,2+k,2+2k,k,k+k,k+2k...排序，每段有n/k个元素，共有k段，所以利用归并排序可以在O(nlg(n/k))时间内对其排序。
e.共有k段，每一段有n/k个元素，对其进行堆排序。如6.5-9中，所以可在O(nlgk)时间内完成。
f.比较排序的下界是nlgn，所以共有k段元素，每段n/k个元素，所以需Ω(nlgn/k)的时间复杂度。
8-6
a.(2n)!/(n!)2。
后面不会证明，希望网友们告知正确答案
8-7
列排序，0-1引理甚是高明，但真心不会证明。
（若有错误和不足，欢迎大家积极指正！）
