哈夫曼树以及哈夫曼编码

哈夫曼树以及哈夫曼编码 

  一、哈夫曼树

  1. 哈夫曼树的定义

   给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)，哈夫曼树是带权路径长度最短的树。权值较大的结点离根较近。

  说明：哈夫曼树是一种用于哈夫曼编码的工具结构。

  2. 哈夫曼树的构造过程 

  哈夫曼树的构造目标是：使带权路径长度（WPL）最小（贪心策略）

  即：WPL = ∑(叶子节点权值×路径长度)

  构造原则：每次选取当前权值最小的两个节点进行合并，直到只剩一棵树（贪心策略）。

  3. 哈夫曼树的特点 

  1）初始节点都在树的叶子节点上

  2）权值大的节点离根更近

  3）每个非叶子节点都有两个孩子(因为我们自下向上构造，两个孩子构成一个新树的根节点)

  4. 举例：假设有一组权值 5,29,7,8,14,23,3,11，请尝试构造哈夫曼树。

  计算权值：5*5+3*5+7*4+14*3+29*2+8*3+11*3+23*2 = 271

  注意：哈夫曼树不一定唯一。当构造过程中出现相同权值的节点时，可以有多种合法的合并顺序，因此可能得到不同的哈夫曼树和哈夫曼编码。但无论构造方式如何，其带权路径长度（WPL）都是最小且相同的。 

  二、哈夫曼编码

  1. 哈夫曼编码的定义

  哈夫曼编码是一种变长前缀编码（Prefix Code），具有无歧义特性；其编码长度与字符频率相关（高频短、低频长），并且在所有前缀编码中具有最优的平均编码长度，是一种高效的无损压缩编码方式。

  2. 编码规则

  在哈夫曼树中：左分支记为 0，右分支记为 1，从根到叶子的路径即为该字符编码。

  3. 举例：设有5个字符，根据其使用频率为其构造哈夫曼编码。以下编码方案中，选项 ( ) 是不可能的。

  A. {111,110,101,100,0}

  B. {0000,0001,001,01,1}

  C. {11,10,01,001,000}

  D. {11,10,011,010,000}

 选项：D （000 这个编码上，有一个内部节点只有1个孩子节点，这个就不满足哈夫曼编码）