Chapter 1 Polynomial

多项式

数域 (number field)

设 \(\mathbb F\subseteq \mathbb C\), 且 \(0,1\in \mathbb F\), \(\forall x,y\in \mathbb F\), 若 \(x+y,x-y,x\cdot y\in \mathbb F\), 且当 \(y\neq 0\) 时, 有 \(x\cdot y^{-1}\in \mathbb F\), 则称 \(\mathbb F\) 是一个数域.

例如: \(\mathbb{Q,C,R}\) 都是数域, 设 \(\mathbb Q(\sqrt 2)=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in\mathbb{Q}\}\), 则 \(\mathbb Q(\sqrt 2)\) 是一个数域, 其封闭性容易验证.

且对任意的数域 \(\mathbb F\), 有 \(\mathbb Q\subseteq \mathbb F\).

一元多项式 (polynomial in one variable)

多项式

设 \(n\) 是一非负整数, \(a_0,a_1,\dots,a_n\in \mathbb F\), 其中 \(\mathbb F\) 是数域, 则称

\[f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i \]

为数域 \(\mathbb F\) 上的一元多项式.

其中 \(n\) 称为多项式的度数 (次数), 记做 \(\partial(f(x))\) 或 \(\deg(f(x))\). \(0\) 多项式不定义次数 (或视其次数为 \(-\infty\)).

多项式的四则运算

设 \(n\geq m\), 且

\[f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i \]

\[g(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^i \]

定义多项式的加法为

\[f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^i \]

其中, 对于 \(m+1\leq i\leq n\), 有 \(b_i=0\).

定义多项式的乘法为 \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\), 其中

\[[x^k]h(x)=\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i} \]

即 \(a_0,a_1,\dots,a_k\) 与 \(b_0,b_1,\dots,b_k\) 的柯西卷积.

即

\[h(x)=\sum_{k=0}^{n+m}\left(\sum_{i+j=k}a_ib_j\right)x^k \]

设 \(\mathbb F[x]\) 是数域 \(\mathbb F\) 上所有多项式的集合, 令 \(f,g\in\mathbb F[x]\), 则 \(f+g,f-g,f\cdot g\in\mathbb F[x]\). 我们称 \(\mathbb F[x]\) 为域 \(\mathbb F\) 上的一元多项式环, 称 \(\mathbb F\) 为 \(\mathbb F[x]\) 的系数域.

容易发现

• \(\deg(f+g)\leq \max(\deg(f),\deg(g))\).
• \(\deg(f\cdot g)=\deg(f)+\deg (g)\)

设 \(f(x),g(x)\in \mathbb F[x]\), 若 \(g\neq 0\), 则存在唯一的 \(q(x),r(x)\in \mathbb F[x]\) 使得

\[f(x)=q(x)g(x)+r(x) \]

且 \(\deg(r)<\deg(g)\) 或 \(r=0\).

证明:

1. 存在性: 设

   \[f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i \]
   \[g(x)=\sum_{i=0}^mb_ix^i \]

   当 \(n<m\) 时, 取 \(q=0\),\(r(x)=f(x)\) 即可.

   对 \(n\geq m\) 的情况进行讨论, 对次数应用数学归纳法.

   容易发现 \(b_m^{-1}a_nx^{n-m}g(x)\) 与 \(f(x)\) 有相同的首项, 于是 \(f_1(x)=f(x)-b_m^{-1}a_nx^{n-m}g(x)\) 的次数小于 \(n\).

   根据归纳法假设, 存在 \(q_1(x),r_1(x)\), 使得 \(f_1(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)\), 于是有 \(f(x)=f_1(x)+b_m^{-1}a_nx^{n-m}g(x)=(q_1(x)+b_m^{-1}a_nx^{n-m})g(x)+r_1(x)\). 取 \(q(x)=q_1(x)+b_m^{-1}a_nx^{n-m}\), \(r(x)=r_1(x)\), 即证明了存在性,

2. 唯一性
   假设存在 \((q_1(x),r_1(x)),(q_2(x),r_2(x))\) 满足条件, 则有 \((q_1-q_2)g=r_2-r_1\), 又 \(\deg(r_2-r_1)<\deg(g)\), 故 \(\deg((q_1-q_2)g)<\deg(g)\), 于是 \(q_1-q_2=0,q_1=q_2\), 进而有 \(r_1=r_2\).

   \(\blacksquare\)