代码源 467 路径计数 2 题解

Description

对有 \(m\) 个坏点的 \(n\times n\) 网格，只能往右或者往下走，计算从 \((1,1)\) 到 \((n,n)\) 的方案数。

限制：\(1\le n\le 10^6\)，\(1\le m\le 3000\)。

Solution

首先考虑到如果没有障碍点的存在，\((x_i,y_i)\) 到 \((x_j,y_j)\) 的方案数为 \(\dbinom{x_j-x_i+y_j-y_i}{x_j-x_i}\)（考虑什么时候往右走）。

所以从 \((1,1)\) 到 \((x,y)\) 的方案数实际上是 \(\dbinom{x+y-2}{x-1}\)。

由于 \(n\) 过大，所以我们考虑在两个障碍点之间转移：设 \(f_i\) 为经过第 \(i\) 个障碍点所到达终点的方案数，我们将其分为两部分考虑，即 \((1,1)\to(x_i,y_i)\) 以及 \((x_i,y_i)\to (n,n)\)。由乘法原理可得方案数为 \(\dbinom{x_i+y_i-2}{x_i-1}\times \dbinom{2n-x_i-y_i}{n-x_i}\)，但是这样会产生重复计数，即经过两个障碍点之间的路径被重复计数了。于是我们考虑容斥。

重新设 \(f_i\) 为不经过别的障碍点第 \(i\) 个障碍点的方案数，那么答案显然为

\[\dbinom{2n-2}{n-1}-\sum_{i=1}^m f_i\cdot\dbinom{2n-x_i-y_i}{n-x_i} \]

而 \(f\) 可以通过枚举在其之前的障碍点转移：

\[f_i=\dbinom{x_i+y_i-2}{x_i-1}-\sum_{j=1}^{i-1} f_j\cdot\dbinom{x_i-x_j+y_i-y_j}{x_i-x_j} \]

预处理阶乘及其逆元，可以在 \(\mathcal O(1)\) 的时间内计算组合数，而 \(f\) 的转移是 \(\mathcal O(m^2)\) 的。

故总的时间复杂度是 \(\mathcal O(n+m^2)\)。

Code

constexpr int mod = 1e9 + 7;
constexpr int N = 2000005;
constexpr int M = 3005;

int fac[N], ifac[N], f[M], answer;
std::pair<int, int> point[M];

inline int fp(int x, int y = mod - 2) {
  int res = 1;
  for (; y; y >>= 1, x = 1ll * x * x % mod) {
    if (y & 1) {
      res = 1ll * res * x % mod;
    }
  }
  return res;
}

inline void init(const int &n) {
	fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
  }
  ifac[n] = fp(fac[n]);
  for (int i = n; i >= 1; --i) {
    ifac[i - 1] = 1ll * ifac[i] * i % mod;
  }
}

inline int binom(const int& n, const int& m) {
  return n < m ? 0 : 1ll * fac[n] * ifac[n - m] % mod  * ifac[m] % mod;
}

template<typename Read, typename Print> inline void solve(Read& in, Print& out) {
  int n, m;
  in >> n >> m;
  init(n << 1);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int x, y;
    in >> x >> y;
    point[i] = std::make_pair(x, y);
  }
  std::sort(point + 1, point + 1 + m);
  point[m + 1] = std::make_pair(n, n);
  for (int i = 1; i <= m + 1; ++i) {
    auto [x_i, y_i] = point[i];
    f[i] = binom(x_i + y_i - 2, x_i - 1);
    for (int j = 1; j < i; ++j) {
      auto [x_j, y_j] = point[j];
      if (x_j > x_i || y_j > y_i) {
        continue;
      }
      f[i] = (f[i] - 1ll * f[j] * binom(x_i + y_i - x_j - y_j, x_i - x_j) % mod + mod) % mod;
    }
  }
  out << f[m + 1] << '\n';
}