CF1529B Sifid and Strange Subsequences

\(\text{Description}\)

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求一个子集 \(S\)，使得 \(\forall i,j\in S,|a_i-a_j|\ge \text{MAX}\)，其中 \(\text{MAX}=\max_{i\in S} a_i\)，最大化 \(|S|\)。

\(\text{Solution}\)

首先对于所有的非正数，都是可以添加进来的。因为添加所有的非正数，\(\text{MAX}\le0\)，而一个数的绝对值 \(\ge 0\)，所以一定是满足条件的。

而对于正数，有如下两个结论：

1. 最多只能添加一个正数。

\(\text{proof:}\) 考虑反证法，设选择了 \(x,y\)，假设 $0\lt x\le y $，则有 \(y-x \lt y\)，与条件相悖，故原命题成立。

2. 如果能添加正数，添加的正数一定是最小的正数。

考虑将所有负数想象成数轴上的点，那么添加正数等同于询问是否有两个点的距离小于这个正数，如果有很显然不成立。那么如果连最小的正数都不能满足，之后的正数一定不能满足这个条件。

而如何检验一个正数是否能加进来呢？

其实方法已经在结论 \(2\) 的证明中提到了，我们将所有数排序，看是否有两个数之间的差小于该正数即可。

时间复杂度：\(\Theta(n\log n)\) （排序的复杂度）。

代码不难写，就不放了。