Codeforces Round #729 (Div. 2) 题解

\(\text{CF1542A: Odd Set}\)

\(\mathtt{Description}\)

给定 \(2n\) 个整数，若能将其分成 \(n\) 组，使得每组内的两个数加和为奇数，则输出 Yes，反之输出 No。多测。

\(1\le n\le100\)

\(\mathtt{Solution}\)

考虑分成奇数的情况：每组内必然是一个奇数和一个偶数，所以只需要记录奇数个数和偶数个数，再判断相等即可。

\(\mathtt{Code}\)

void solve() {
  cin >> n ;
  int num1 = 0,num2 = 0;
  for (int i = 1,x; i <= n << 1; ++i) cin >> x,num1 += x % 2,num2 += !(x % 2) ;
  if (num1 == num2) cout << "Yes" << endl ;
  else cout << "No" << endl ;
}

\(\text{CF1542B:Plus and Multiply}\)

\(\mathtt{Description}\)

定义一个拥有无穷元素的集合 \(S\)，满足如下条件：

• \(1\in S\)
• \(x\in S\rightarrow x\times a \in S,x + b\in S\)

给出 \(n,a,b\)，判断 \(n\) 是否在集合中。

\(\mathtt{Solution}\)

当然可以有更简单的方法：直接枚举指数 \(k\)，由于 \(k\) 最大为 \(\log_2 10^9\)，所以复杂度可以接受。

对于 \(1\) 的情况要特判。

代码并不难打，就不给了，记得开个 long long

\(\text{CF1542C:Strange Function}\)

\(\mathtt{Description}\)

定义函数 \(f(x)\) 为最小的不是 \(x\) 的因数的数。

求 \(\sum_{x = 1}^nf(x)\) 对 \(10^9 + 7\) 取模的结果

\(1\leq n\leq10^{16}\)

\(\mathtt{Solution}\)

发现大多数的 \(f\) 值都是相同的，这引导我们使用筛法。

由于 \(\max f(x) = 41\)，所以我们可以直接枚举 \(f(x)\) 的值，筛去所有不是 \(f(x)\) 的倍数的数。在枚举 \(f(x)=k\) 时，所有的

\[\text{LCM} = \text{lcm}(1,2,\cdots,k-1) \]

的倍数已经筛掉了，所以我们只需要筛 \(\dfrac {k} {\gcd(\text{LCM},k)}\) 即可。

\(\text{CF1542D Priority Queue}\)

\(\mathtt{Description}\)

给初始为空的优先队列和长度为 \(n\) 的操作序列，操作分两种：

• + x 将 \(x\text{ push}\) 进队列中。
• - 弹出最小的数。

现在你需要求出按照所有的操作序列的子序列（共有 \(2^n\) 种）对优先队列进行操作之后，队列中的所有可能的最小值加起来的结果，对 \(998244353\) 取模。

\(1\le n\le500\)

\(\mathtt{Solution}\)

考虑 \(\text{dp}\)，设 \(f_{i,j}\) 表示对于一个特定的值 \(x\) 来说，考虑前 \(i\) 位，有 \(j\) 个数比 \(x\) 小的方案数。

则分情况讨论:

当第 \(i\) 位为 - 时

\[f_{i,j} = f_{i-1,j} + f_{i-1,j-1} \]

当第 \(i\) 为 + 且比 \(x\) 大：

\[f_{i,j} =2\times f_{i-1,j} \]

当第 \(i\) 为 + 且比 \(x\) 小：

\[f_{i,j} = f_{i-1,j}\quad(j=0) \]

\[f_{i,j} = f_{i-1,j} + f_{i-1,j-1} \quad(j\not= 0) \]

时间复杂度：\(\mathcal O (n^3)\)

\(\text{CF1542E:Abnormal Permutation Pairs}\)

还不太会/kk，咕咕咕。