Luogu P4732 常系数齐次线性递推

\(\mathtt{Description}\)

求一个满足 \(k\) 阶齐次线性递推数列 \({a_i}\) 的第 \(n\) 项，即：

\[a_n=\sum\limits_{i=1}^{k}f_i \times a_{n-i} \]

\(\mathtt{restrictions:}n=10^9,k = 32000\)

\(\mathtt{Solution}\)

\(\mathtt{Pre-Knowledge}\)

多项式取模。

关于求线性递推数列的解法BJpers2大佬的题解已经说的很清楚了，这里主要写一下在打代码的时候需要注意的地方。

我们其实就是要求多项式 \(x^n\) 在 \(p(x)= x^k-f_1x^{k-1}-\cdots -f_kx^0\) 的模意义下的结果。

所以可以考虑快速幂，每次多项式取模就可以了，然后要注意以下两个点：

1. 对于多项式封装使用 std::vector 的同学，需要注意模的多项式的 size 大于原多项式的情况。

2. 原式有小于 \(0\) 的情况，需要判断掉。

把代码放一下吧:

\(\mathtt{Code}\)

inline std::pair<vector<int>,vector<int> > Div(vector <int> f,vector <int> g) {
    int n = f.size(),m = g.size();
    if (n - m < 0) return std::make_pair(vector <int> (1,0),f) ;
    vector <int> fr(n),gr(m),igr,q(n - m + 1),r(m);
    for (int i = 0; i < n; ++i) fr[n - i - 1] = f[i] ;
    for (int i = 0; i < m; ++i) gr[m - i - 1] = g[i] ;
    gr.resize(n - m + 1) ;
    igr = Inv(gr),fr = fr * igr ;
    for (int i = 0; i < n - m + 1; ++i) q[i] = fr[n - m - i] ;
    g = q * g ;
    for (int i = 0; i < m; ++i) r[i] = (f[i] - g[i] + mod) % mod ;
    return std::make_pair(q,r) ;  
  }

  inline int LR(vector<int> a,vector<int> p,int n) {
    int k = a.size() ;
    vector<int> f(2),res(1) ;
    f[1] = res[0] = 1; 
    while (n) {
      if (n & 1) {
        res = res * f; 
        auto tmp = Div(res,p) ;
        res = tmp.second ;
      }
      f = f * f ;
      auto temp = Div(f,p) ;
      f = temp.second,n >>= 1;
    }
    int ans = 0 ;
    for (int i = 0; i < k; ++i) ans = (ans + 1ll * a[i] * res[i] % mod) % mod ;
    return ans ;
  }