P4841 [集训队作业2013]城市规划 题解

\(\textbf{Description}\)

求 \(n\) 个点的有标号的无向连通图数目。
\(\text{restrictions}:1\le n\le1.3\times10^5\)

\(\textbf{solution}\)

我们设 \(g_i\) 表示有 \(i\) 个点的有标号无向图数目，易得 \(g_i = 2^{C_n^2}\)。

考虑枚举每两个点之间是否连通。

设 \(f_i\) 表示有 \(i\) 个点的连通图数目（即答案所求）。

则可得：

\[g_n = \sum_{i=1}^n C_{n-1}^{i-1}f_i g_{n-i} \]

考虑 \(1\) 号点所处的连通块大小 \(i\)，则需要从 \(n-1\) 个点中选出 \(i-1\) 个点，剩下 \(n-i\) 个点随便排列，即 \(g_i\) 的含义。

推一波式子：

\[g_n = \sum_{i=1}^n C_{n-1}^{i-1}f_i g_{n-i}\\ g_n = (n-1)!\sum_{i=1}^n \frac {f_i} {(i-1)!} \times \frac {g_{n-i}} {(n-i)!} \\ \frac {g_n} {(n-1)!} = \sum_{i=1}^n \frac {f_i} {(i-1)!} \times \frac {g_{n-i}} {(n-i)!} \]

设

\[F(x) = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac {f_i} {(i-1)!}x^n\\ G(x) = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac {g_i} {(i-1)!}x^n\\ H(x) = \sum_{i=0}^{+\infty}\frac {g_i} {i!} x^n \]

则

\[F = H*G^{-1}\\ f(x) = \frac {F(x)} {(n-1)!} \]

\(G,H\) 可以预处理，套个多项式求逆的板子即可。