P4135 作诗 题解

Description

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，每个点有一种颜色 \(c\)。
\(m\) 次询问区间 \([l,r]\)，求有多少个颜色出现次数为偶数次。

限制：\(1\le n,m,c\le10^5\)。

Solution

考虑 分块
用类似于求区间众数的思路：
用 \(ans_{i,j}\) 来存从第 \(i\) 到第 \(j\) 块的答案（即有多少数出现偶数次）。
用 \(cnt_{i,j}\) 来存前 \(i\) 块中 \(j\) 的出现次数。

预处理可以开桶算，对于询问设初始答案为 \(ans_{posl+1,posr-1}\)，零散块暴力统计，记得每次要清空桶。

设块长为 \(S\)，则预处理 \(cnt\) 的复杂度为 \(\Theta(Sc)\)，预处理 \(ans\) 的复杂度为 \(\Theta(nS)\)，单次询问为 \(\Theta(n/S+S)\)。

当 \(S=\sqrt n\) 时最优为 \(\Theta(n\sqrt n)\)

细节见代码：

Code

constexpr int N = 1e5 + 10 ;
constexpr int M =  1100 ;

int n,m,c,siz,tot ;
int L[N],R[N],a[N],cnt[M][N],ans[M][M];
int t[N] ;

inline int pos(const int x) {
    return (x-1)/siz + 1;
}

inline void Init() {
    cin >> n >> c >> m,siz = sqrt(n),tot = pos(n) ;
    for(int i = 1;i <= n;++i) cin >> a[i],++cnt[pos(i)][a[i]];
    for(int i = 1;i <= tot;++i) L[i] = R[i-1] + 1,R[i] = i*siz ;
    R[tot] = n ;
    for(int i = 1;i <= tot;++i) 
        for(int j = 0;j <= c;++j) 
            cnt[i][j] += cnt[i-1][j] ;
    for(int i = 1;i <= tot;++i) {
        for(int j = i;j <= tot;++j) {
            ans[i][j] = ans[i][j-1] ;
            for(int k = L[j];k <= R[j];++k) {
                ++t[a[k]] ;
                if(t[a[k]] % 2 == 0) ++ans[i][j] ;
                else if(t[a[k]] >= 3) -- ans[i][j] ;
            }
        }
        memset(t,0,sizeof t) ;
    }
    
}

inline int calc(const int l,const int r) {
    int res = 0;
    for(int i = l;i <= r;++i) {
        ++t[a[i]] ;
        if(t[a[i]] % 2 == 0) ++res ;
        else if(t[a[i]] >= 3) --res ;
    }
    for(int i = l;i <= r;++i) --t[a[i]] ;
    return res ;
}

inline int query(const int l,const int r) {
    const int posl = pos(l),posr = pos(r) ;
    if(posl + 1 >= posr) return calc(l,r) ;
    int res = ans[posl+1][posr-1] ;
    for(int i = l;i <= R[posl];++i) {
        const int tmp = cnt[posr-1][a[i]] - cnt[posl][a[i]] ;
        t[a[i]]++ ;
        if((t[a[i]]+tmp) % 2 == 0) ++res ;
        else if(t[a[i]]+tmp >= 3) --res ;
    }
    for(int i = L[posr];i <= r;++i) {
        t[a[i]]++;
        const int tmp = cnt[posr-1][a[i]] - cnt[posl][a[i]] ;
        if((t[a[i]]+tmp) % 2 == 0) ++res ;
        else if(t[a[i]]+tmp >= 3) --res ;
    }
    for(int i = l;i <= R[posl];++i) --t[a[i]] ;
    for(int i = L[posr];i <= r;++i) --t[a[i]] ;
    return res ; 
}

int main(int argc,const char **argv) {
    Init() ;
    int lastans = 0 ;
    while(m--) {
        int l,r;
        cin >> l >> r;
        l = (l + lastans) % n + 1,r = (r + lastans) % n + 1;
        if(l > r) std::swap(l,r);
        l = max(l,1),r = min(r,n) ;
        cout << (lastans = query(l,r)) << '\n' ;
    }    
    return 0 ;
}