P4374 [USACO18OPEN]Disruption P 题解~

\(\text{Description}\)

给定一颗有 \(n\) 个点的树，另给出 \(m\) 条有边权的边。求断掉一条边后能使原树联通的最小边权。

\(\text{Solution}\)

非常有意思的一道树剖题目，我们可以画图理解一下：

接着我们思考断掉一条边，寻找最小的能使图联通的边（这里建议手模一下），我们会发现：

只有当被断掉的边连接的两个点在额外边连接的两点的路径上（也就是形成环）时，这条额外边才有贡献。

举个例子：当断掉 \(1-2\) 这条边时，为了保证 \(1-2\) 之间联通，我们可以选择边权为 \(3\) 的红边，而当断掉 \(1-3\) 之间的边时，我们可以选择边权为 \(3\) 的红边，也可以选择边权为 $5 $ 的红边（因为 \(1-3\) 之间的边和他们都形成了环），而当断掉 \(2-5\) 之间的边时，由于没有红边和他们形成环，所以就无解了。

所以这实际上就是一个树剖模板：区间修改求最小 + 区间查询最小值。

时间复杂度：\(\Theta(n\log^2n)\)（树剖复杂度）

代码在链接里。