概率中的相关性与独立性

首先，概率中的相关性指的是线性相关，（见《概率论与数理统计》盛骤 中“协方差与相关系数”一节）。

其次，概率中的(线性)相关性与独立性是不等价的，独立=》不（线性）相关；不（线性）相关=》独立。

其实很好理解，相关有线性相关和非线性相关，在非线性相关的情况下，变量之间仍有联系，因此不独立。

（1）独立=》不相关，很简单，如下：

（2）不线性相关的情况，两个变量也不独立，可以举个反例。

X 是在-2，-1，1，2上等可能取值的随机变量，即Pr(X=?)=1/4 for all ?，E(X)=0
Y=X^2，则Pr(Y=1)=1/2，Pr(Y=4)=1/2，E(Y)=5/2
XY=X^3的分布，是在-8，-1，1，8上等可能取值的随机变量，即Pr(XY=?)=1/4 for all ?，E(XY)=0
E(XY)-EXEY=0
X与Y是不（线性）相关。
但是显然他们不是独立的

 

当然，在某些特殊的情况下，不相关可以推出独立，这时候不相关和独立等价

1. X，Y的联合分布服从二元高斯分布
2. X，Y都是两值随机变量（Bernoulli random variable）