NIM游戏的理解

今天学习了NIM游戏的理论。

NIM游戏：给出若干堆石子，每一堆石子有若干个石头，有两个人参与游戏，每一次可以在一堆石子中拿走>= 1个石头，也不能超过该堆石子石头数。问如果双方都是大佬都以最优
拿石头，先手玩家是否必赢？
结论：对于每一堆石头取异或和，如果结果为0，即为必输，否则必赢。

概念：
必输情况：每一堆石头数量都为0，异或和也为0；
先手必输状态：当前每一堆石子的异或和为0
先手必赢状态：当前每一堆石头的异或和不为0

证明：给出n堆石头s1, s2, s3 ... ,sn

1:先手必赢状态都可以一步到达先手必输状态（也就是让对手处于先手必输状态），
s1 ^ s2 ^ s3 ^ ... ^ sn = x;
x的最高位的位置是k,容易知道，一定存在奇数个石子堆的第k位也为1.
从这些石子堆任意挑选一个和x异或操作可知：

我们可以在第si中拿走（si - (si ^ x)) 个石头
故si就变成了si - （si - (si ^ x)) = si ^ x;
原来的式子就变成
s1 ^ s2 ^ s3 ^ ... ^ si ^ x ^ ... ^ sn = x ^ x = 0;

2:先手必输状态只能转化先手必赢状态，不能转变为先手必输。
反证：假设先手必输状态->先手必输状态。
s1 ^ s2 ^ s3 ^ ... ^ si ^ ... ^ sn = 0;
从第i个挑走一些得到：
s1 ^ s2 ^ s3 ^ ... ^ si` ^ ... ^ sn = 0;
由一式异或二式得到si ^ si` = 0, si = si`,矛盾。
故结论成立。
经过若干次先手必赢状态转换成先手必输，石子数只增不减，最后留个另一个玩家的先手必输状态就会变成0 0 0 0 0 ... 0;
游戏结束。