特征根法

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特征根法

设二阶常系数线性齐次递推式为 $x_{n+2}=px_{n+1}+qx_n（n≥1，p、q$ 为常数， $q≠0）$，其特征方程为 $x^2=px+q$ ,其根为特征根.
设特征根为 $α$，$β$ , 则 $α+β=p$ , $αβ=-q$ .
$∴x_{n+2}-αx_{n+1}=px_{n+1}+qx_n-αx_{n+1}=(p-α)x_{n+1}+qx_n=βx_{n+1}-αβx_n=β（x_{n+1}-αx_n)$
故 ${x_{n+1}-αx_n}$ 是以 $β$ 为公比，$x_2-αx_1(≠0)$为首项的等比数列.
从而 $x_{n+1}-αx_n=(x_2-αx_1)β^{n-1}$
$∴x_n=αx_{n-1}+(x_2-αx_1)β^{n-2}$
故有以下结论：
$(1)$ 当 $α≠β$ 时 , 其通项公式为 $x_n=Aα^n+Bβn.$ 其中 $A= \dfrac{x_2-βx_1}{(α-β)α}$ ，$B= \dfrac{x_2-αx_1}{(α-β)β}$
$(2)$ 当 $α=β$ 时 , 其通项公式为 $x_n=[Aα+B(n-1)]α^{n-1}.$ 其中 $A= \dfrac{x_1}{α}$ , $B= \dfrac{x_2-αx_1}{α}$