AGC033D题解

题意：

给你一个长度为\(N\)的一个字符串\(S\)，初始时每个字符均为\(0\)。

然后给你两个数字\(A,B\)，你可以对这个字符串进行无限次的两个操作

• 选择连续\(A\)个字符将它们变成\(0\)
• 选择连续\(B\)个字符将它们变成\(1\)

求本质不同的字符串个数，对\(10^9+7\)取模。

\(1\leq A, B\leq N\leq 5000\)，所有数字均为整数。

sol：

显然，我们可以使每个位置为\(1\)，因此，若将\(0\)和\(1\)取反，答案并不会改变，所以为了方便我们假设\(A\leq B\)。

考虑怎么样的字符串\(x\)是合法的：

• 将所有连续的长度\(\ge A\)的\(0\)变为\(1\)，之后存在长度\(\ge B\)的\(1\)

因为假设已经固定了一段\(1\)，那么由于\(A\leq B\)，所以可以在末端继续填充\(1\)。

或者直接考虑倒着的操作序列可以看出。

考虑计算最后并不合法的字符串数量。可以通过\(dp\)计算连续\(0\)长度\(<A\)和连续\(1\)长度\(< B\)的序列。然后考虑如何\(\ge A\)的连续的\(0\)插入连续的\(1\)中。

考虑预处理出将\(\ge A\)的连续\(0\)插入到一个具有\(j\)个连续\(1\)部分的方式的数量。

令\(g_{i,0/1}\)表示长度为\(i\)的连续\(1\)段（包含长度\(\ge A\)的\(0\)段）并且以\(0/1\)结尾的方案数（但是开头为\(1\)）

令\(f_{i,0/1}\)表示长度为\(i\)的以\(0/1\)结尾的不合法方案数。

时间复杂度\(O(n^2)\)

int n,a,b;
int f[5555][2],g[5555][2];
inline void add(int &x,const int &y) {x+=y;x>=mod?x-=mod:1;}

signed main()
{
	n=read(),a=read(),b=read();
	if(a>b) swap(a,b);
	g[1][1]=1;
	R(i,2,b-1) 
	{
		add(g[i][1],g[i-1][0]),add(g[i][1],g[i-1][1]);
		R(j,a,i-1) add(g[i][0],g[i-j][1]);
	}
	//R(i,1,b) printf("1:%lld 2:%lld\n",g[i][0],g[i][1]); 
	f[0][0]=f[0][1]=1;
	R(i,1,n) 
	{
		R(j,1,min(a,i+1)-1) add(f[i][0],f[i-j][1]);
		R(j,1,min(b,i+1)-1) 
		{
			if(i==n) add(f[i][0],1ll*f[i-j][0]*g[j][0]%mod);
			add(f[i][1],i==j?(g[j][0]+g[j][1])%mod:1ll*f[i-j][0]*g[j][1]%mod);
		}
	}
	int ans=1;
	R(i,1,n) ans*=2,ans%=mod;
	//printf("%lld %lld\n",f[n][0],f[n][1]);
	ans=(ans-(f[n][0]+f[n][1])%mod+mod)%mod;
	writeln(ans);
}